Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在BC、AC邊上，連結BE、AD交于點P，設AC=kBD，CD=kAE，k為常數，試探究∠APE的度數：

（1）如圖1，若k=1，則∠APE的度數為 ；

（2）如圖2，若k=，試問（1）中的結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出∠APE的度數．

（3）如圖3，若k=，且D、E分別在CB、CA的延長線上，（2）中的結論是否成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）（1）中結論不成立，理由見解析；（3）（2）中結論成立，理由見解析.

【解析】（1）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進而判斷出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判斷出∠EFB=90°，即可得出結論；

（2）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進而判斷出△FAE∽△ACD，再判斷出∠EFB=90°，即可得出結論；

（3）先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進而判斷出△ACD∽△HEA，再判斷出∠EFB=90°，即可得出結論；

（1）如圖1，過點A作AF∥CB，過點B作BF∥AD相交于F，連接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE≌△ACD，

∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．

∵AD∥BF，

∴∠EFB=90°．

∵EF=BF，

∴∠FBE=45°，

∴∠APE=45°．

（2）（1）中結論不成立，理由如下：

如圖2，過點A作AF∥CB，過點B作BF∥AD相交于F，連接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴．

∵BD=AF，

∴．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE∽△ACD，

∴，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．

∵AD∥BF，

∴∠EFB=90°．

在Rt△EFB中，tan∠FBE=，

∴∠FBE=30°，

∴∠APE=30°，

（3）（2）中結論成立，如圖3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，連接AH，

∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四邊形EBDH是平行四邊形，

∴BE=DH，EH=BD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴．

∵∠HEA=∠C=90°，

∴△ACD∽△HEA，

∴，∠ADC=∠HAE．

∵∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠HAE+∠CAD=90°，

∴∠HAD=90°．

在Rt△DAH中，tan∠ADH=，

∴∠ADH=30°，

∴∠APE=30°．