Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(－4,0)、B(2,0)，在y軸上有一點(diǎn) E(0，－2)，連接AE．

　　　　

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．若tan∠AED＝，求此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）連接AC，點(diǎn)P是線段CA上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，把線段PO繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PQ，點(diǎn)Q是點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，判斷動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡并求動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．

【解析】

（1）將A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6，即可求解；
（2）tan∠AED＝，由勾股定理得出AN＝，NE＝，證明Rt△AFN∽Rt△EFO，得到，求出OF＝2，得到直線EF的解析式，再聯(lián)立方程組即可求解；
（3）Q點(diǎn)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，即可求解．

解：（1）將A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6（a≠0），

，解得：a＝，b＝，
∴；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥DE，DE與x軸交于點(diǎn)F，

∵tan∠AED＝，即，

設(shè)AN=m，則EN=3m，

∵AE=，

∴，即

解得：m=，
∴AN＝，NE＝3，
∵∠ANF=∠EOF，∠AFN=∠EFO，

∴Rt△AFN∽Rt△EFO，
∴，
∵EF2＝OF2＋4，
∴NF＝3EF=，
∴，
∴解得：OF＝2或OF=-14（舍去），
∴F（2，0），
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+n，

將E（0,-2）和F（-2,0）代入得，解得k=-1，n=-2，

∴直線EF解析式為y＝x2，
由，得或，

∵點(diǎn)D在第二象限，

∴；

（3）∵Q點(diǎn)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)，
∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，
當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，Q（4，4），
當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)，Q（6，6），
∴Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．