Question

【題目】若關于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3=0（m為實數(shù)）．

（1）求證：不論m為何值，該方程均有兩個不等的實根；

（2）解方程求出兩個根x1，x2（x1＞x2），并求w=x1（x1+x2）+x12的最值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）－.

【解析】

（1）根據(jù)b2﹣4ac與零的關系即可判斷出的關于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m為實數(shù)）的根的情況；

（2）用因式分解法求得方程的兩個根，代入w中，化簡并配方可得最小值．

（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m﹣3）=16＞0，∴不論m為何值，該方程均有兩個不等的實根；

（2）x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3=0，（x+m﹣3）（x+m+1）=0．

∵x1＞x2，∴x1=﹣m+3，x2=﹣m﹣1，∴w=x1（x1+x2）+=（﹣m+3）（﹣2m+2）+（﹣m+3）2=3m2﹣14m+15=3（m﹣）2﹣．

∵3＞0，∴w有最小值是﹣．