Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣8與x軸交于兩點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與拋物線的一個交點(diǎn)為點(diǎn)D，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，連接CE，已知點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（6，﹣8）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）試探究在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得△FOB和△EOB的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（4）若點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（0，m），直線PB與直線l交于點(diǎn)Q，請直接寫出：當(dāng)m為何值時，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)A（﹣2，0）、D（6，﹣8）代入y=ax2+bx﹣8，

得： ，

解得： ，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣3x﹣8

（2）

解：設(shè)直線l的解析式為y=kx，

將D（6，﹣8）代入，得：6k=﹣8，

解得：k=﹣ ，

∴直線l的解析式為y=﹣ x，

又拋物線的對稱軸為x=﹣ =3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，﹣4）

（3）

解：存在，

設(shè)點(diǎn)F（x， x2﹣3x﹣8），

∵S△FOB=S△EOB，即 OByF= OByE，

∴yF=yE，即 x2﹣3x﹣8=﹣4，

解得：x=3± ，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3﹣ ，﹣4）或（3+ ，﹣4）

（4）

解：①如圖1

當(dāng)OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形．

∵點(diǎn)E坐標(biāo)（3，﹣4），

∴OE= =5，過點(diǎn)E作直線ME∥PB，交y軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H．則 = ，

∴OM=OE=5，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)（0，﹣5）．

設(shè)直線ME的解析式為y=k1x﹣5，

∴3k1﹣5=﹣4，

∴k1= ，

∴直線ME解析式為y= x﹣5，

令y=0，得 x﹣5=0，解得x=15，

∴點(diǎn)H坐標(biāo)（15，0），

∵M(jìn)H∥PB，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ ，

②如圖2，

當(dāng)QO=QP時，△POQ是等腰三角形．

∵當(dāng)x=0時，y= x2﹣3x﹣8=﹣8，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，﹣8），

∴CE= =5，

∴OE=CE，

∴∠1=∠2，

∵QO=QP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴CE∥PB，

設(shè)直線CE交x軸于N，解析式為y=k2x﹣8，

∴3k2﹣8=﹣4，

∴k2= ，

∴直線CE解析式為y= x﹣8，

令y=0，得 x﹣8=0，

∴x=6，

∴點(diǎn)N坐標(biāo)（6，0），

∵CN∥PB，

∴ = ，

∴ = ，

∴m=﹣ ．

③OP=PQ時，顯然不可能，理由，

∵D（6，﹣8），

∴∠1＜∠BOD，

∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，

∴∠PQO＞∠1，

∴OP≠PQ，

綜上所述，當(dāng)m=﹣ 或﹣ 時，△OPQ是等腰三角形

【解析】（1）待定系數(shù)法求解可得；（2）求得直線l的解析式和拋物線對稱軸即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)△FOB和△EOB共底且面積相等可得yF=yE ， 即 x2﹣3x﹣8=﹣4，解之可得答案；（4）①如圖1中，當(dāng)OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形，過點(diǎn)E作直線ME∥PB，交y軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H，求出點(diǎn)M、H的坐標(biāo)即可解決問題．②如圖2中，當(dāng)QO=QP時，△POQ是等腰三角形，先證明CE∥PQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程即可解決問題．