Question

2．如圖，點A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐標(biāo)系x軸上，點B₁、B₂、B₃、…在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均為等邊三角形．則A₂₀₁₆的橫坐標(biāo)為2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線與x軸交點為C，求出OC的長度，再根據(jù)直線解析式求出∠B₁CO=30°，然后根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°可得∠A₁OB₁=60°，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CB₁O=30°，根據(jù)等角對等邊可得OB₁=OC，從而求出第一個等邊三角形的邊長，同理可求CA₂、CA₃…，根據(jù)變化規(guī)律寫出第CA₂₀₁₆，然后減去OC得到OA₂₀₁₆，從而得解．

解答 解：如圖，設(shè)直線與x軸交點為C，
令y=0，則$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1=0，
解得x=-$\sqrt{3}$，
所以，OC=$\sqrt{3}$，
由直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1得∠B₁CO=30°，
∵△OA₁B₁是等邊三角形，
∴∠A₁OB₁=60°，
∴∠CB₁O=∠A₁OB₁-∠B₁CO=60°-30°=30°，
∴∠B₁CO=∠CB₁O，
∴OB₁=OC=$\sqrt{3}$，
∵OA₁=OB₁，
∴CA₁=OC+OA₁=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
同理，CA₂=4$\sqrt{3}$，CA₃=8$\sqrt{3}$，
…，
CA₂₀₁₆=2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$，
所以，OA₂₀₁₆=2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，
所以，點A₂₀₁₆的橫坐標(biāo)為2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．
故答案為：2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，難點在于確定出直線與x軸的夾角為30°并求出等腰三角形．