Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作⊙D，P為⊙D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，OP，則△AOP面積的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到平行于OA且與⊙D相切時(shí)，△AOP面積的最大，由于P為切點(diǎn)，得出MP垂直與切線，進(jìn)而得出PM⊥AC，根據(jù)勾股定理先求得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得OA的長(zhǎng)，根據(jù)△ADM∽△ACD，求得DM的長(zhǎng)，從而求得PM的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得；

解：當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)P的直線平行于OA且與⊙D相切時(shí)，△AOP面積的最大，如圖，

∵過(guò)P的直線是⊙D的切線，

∴DP垂直于切線，

延長(zhǎng)PD交AC于M，則DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝，

∴OA＝，

∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴，

∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，

∴DM＝ ，

∴PM＝PD+DM＝1+＝ ，

∴△AOP的最大面積＝OAPM＝××＝，

故答案為：．