Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（﹣1，0）．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)：B（ ）、C（ ）；并求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A、B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過點(diǎn)C．此時(shí)，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點(diǎn)M．

①設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時(shí)，△OCE∽△OBC；

②在①的條件下探究：拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使△PEM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，拋物線解析式為；

（2）①當(dāng)時(shí)，△OCE∽△OBC；②拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P或或或，使△PEM是等腰三角形．

【解析】

（1）利用解直角三角形求出OC的長度，再求出OB的長度，從而可得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

（2）①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長度，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出AO的長度，相加即可得到AE的長度，即x的值；

②根據(jù)①確定點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，然后求出∠FEB=60°，根據(jù)同位角相等兩直線平行求出EF//AC，再求出直線EF的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出EM的長度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三種情況分別求解．

（1）∵點(diǎn)

∴

由圖可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角

∴，

∴點(diǎn)，點(diǎn)

設(shè)拋物線解析式為

解得

∴拋物線解析式為

（2）①∵△OCE∽△OBC

∴

即

解得

∴

即時(shí)，△OCE∽△OBC

②存在，理由如下：

拋物線的對(duì)稱軸為

∴點(diǎn)E為拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)

∵，軸，

∴△ACE是等邊三角形

∴

∵

∴

∴

∴

由可得直線AC的解析式為

∵點(diǎn)E

∴直線EF的解析式為

聯(lián)立

解得 ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（舍去）

分三種情況討論△PEM是等腰三角形

1）當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

2）當(dāng)時(shí)，

∵

∴

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

3）當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上所述，拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P或或或，使△PEM是等腰三角形．