【題目】菱形中,為邊上的點(diǎn),相交于點(diǎn)

1)如圖1,若,,求證:;

2)如圖2,若.求證:;

3)如圖3,在(1)的條件下,平移線段,使的中點(diǎn),連接于點(diǎn),若,請直接寫出的長度.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(31

【解析】

1)由菱形ABCD中和∠A90°可得菱形ABCD是正方形,根據(jù)正方形性質(zhì)得ADDC,∠A=∠CDF90°,再加上DECF即證得RtADERtDCF,所以∠ADE=∠DCF,等量代換計算即得到∠CGD90°,得證.
2)由菱形性質(zhì)可得ADCD,∠B=∠ADC,∠B+∠BAD180°,再由∠EGC+∠B180°可得∠A=∠EGC=∠DGF,∠CGD=∠B=∠ADC,證明△ADE∽△GDF和△DCG∽△FCD,再由對應(yīng)邊成比例等量代換計算得DECF
3)由(1)的條件可得MNCF,MNCF,加上GCF的中點(diǎn),即MN垂直平分CF,連接FM即有FMMC且∠DMF=∠MFC+∠FCD30°,設(shè)DFx,則根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì),可用x表示FMDM.過點(diǎn)NCD的垂線段NP,則CPBN,且易證RtNPMRtCDF,所以MPDFx,進(jìn)而能用x表示CM、CD.利用MFMC列出關(guān)于x的方程,求解即得到CM、CD、DF的長.證明△CGM∽△CDF,根據(jù)對應(yīng)邊成比例計算即求得FGCG的長.

解:(1)證明:∵菱形ABCD中,∠A90°
∴菱形ABCD是正方形
ADDC,∠A=∠CDF90°
RtADERtDCF
DECF,ADDC,
RtADERtDCFHL
∴∠ADE=∠DCF
∴∠DCF+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠ADC90°
∴∠CGD90°
DECF
2)證明:∵四邊形ABCD是菱形
ADCD,∠B=∠ADC,ADBC
∴∠A+∠B180°
∵∠EGC+∠B180°,∠EGC+∠CGD180°
∴∠A=∠EGC=∠DGF,∠CGD=∠B=∠ADC
∵∠A=∠DGF,∠ADE=∠GDF
∴△ADE∽△GDF
,

∵∠CGD=∠CDF,∠DCG=∠FCD
∴△DCG∽△FCD
,
,
ADDC
DECF;
3)如圖,過點(diǎn)NNPCD于點(diǎn)P,連接FM,


∴∠CPN=∠MPN90°,
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC90°,BCCD
∴四邊形BCPN是矩形
NPBCCD,PCBN,

RtNPMRtCDF
MNCFNPCD,
RtNPMRtCDFHL
PMDF
設(shè)PMDFx,則CMPCPMx,
∵由(1)得MNCF,GCF中點(diǎn)
MN垂直平分CF
MFMC
∴∠MFC=∠FCD15°
∴∠DMF=∠MFC+∠FCD30°
RtDMF中,MF2DF2xDM,

由于MFMC,即2xx
x
DFDM=,CMMF=2CDCMDM2+
∵∠GCM=∠MCF,∠CGM=∠CDF90°
∴△CGM∽△CDF
,
2CG2CDCM=(2+284
CG242122+()2=12,
FGCG1

練習(xí)冊系列答案
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A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米

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對于任意的點(diǎn)E,四邊形BEDF都是平行四邊形;

當(dāng)∠ABC>90°時,至少存在一個點(diǎn)E,使得四邊形BEDF是矩形;

當(dāng)AB<AD時,至少存在一個點(diǎn)E,使得是四邊形BEDF是菱形;

當(dāng)∠ADB=45°時,至少存在一個點(diǎn)E,使得是四邊形BEDF是正方形.

所有正確說法的序號是:_________

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【題目】將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按圖規(guī)律排列:

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

8

7

6

5

3

9

10

11

12

4

16

15

14

13

規(guī)定位于第行,第列的自然數(shù)10記為,自然數(shù)15記為按此規(guī)律,自然數(shù)2018記為______

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第一步:在矩形紙片一端 ,利用圖1的方法折出一個正方形,然后把紙片展平;

第二步:如圖2,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平;

1 2

第三步:折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線,并把折到圖3中所示的處;

第四步:展平紙片,按照所得的點(diǎn)折出,使,則圖4中就會出現(xiàn)黃金矩形.

3 4

(1)在圖3_________ (保留根號);

(2)如圖3,則四邊形的形狀是_________;

(3)在圖4中黃金矩形是_________

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