【題目】已知四邊形ABCD和AEFG都是正方形,
(1)如圖1,E、G分別在AB、AD上,連CF,H為CF的中點(diǎn),EH與DH的位置關(guān)系是 ,數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,把正方形AEFG繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(α為銳角),(1)中結(jié)論是否仍成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
(3)如圖3,在(2)旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn)F落在BC上,且AE:AB= 時(shí),有AB平分EF.
【答案】(1)DH⊥EH,DH=EH;(2)結(jié)論:DH⊥EN,DH=EH=HN.理由見解析;(3)AE:AB=:3.
【解析】
(1)如圖1中,延長EH到N,使得HN=EH.連接DN,CN.只要證明△ADE≌△CDN(SAS),推出DE=DN,∠ADE=∠CDN,∠EDN=∠ADC=90°再利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題;
(2)結(jié)論:DH⊥EN,DH=EH=HN.如圖2中,延長EH到N,使得HN=EH.連接DN,CN,DE,延長NC交AD于點(diǎn)M.想辦法證明△ADE≌△CDN(SAS)即可解決問題;
(3)如圖3中,作EN⊥AB于N設(shè)BF交AB于M.設(shè)BM=NM=a,想辦法求出AE,AB(用a表示),即可解決問題;
解:(1)如圖1中,延長EH到N,使得HN=EH.連接DN,CN,DE.
∵FH=HC,∠FHE=∠CHN,EH=HN,
∴△FHE≌△CHN(SAS),
∴EF=CN,∠FEH=∠CNH,
∴EF∥CN,
∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形,
∴AD=DC,∠DAE=∠ADC=∠AEF=90°,AE=EF=CN,
∴EF⊥AB,∵AB∥CD,
∴EF⊥CD,∵EF∥CN,
∴CN⊥CD,
∴∠DCN=∠DAE=90°
∵AD=CD,AE=CN,
∴△ADE≌△CDN(SAS),
∴DE=DN,∠ADE=∠CDN,
∴∠EDN=∠ADC=90°,
∵EH=HN,
∴DH⊥EN,DH=EH=HN,
故答案為:DH⊥EH,DH=EH.
(2)結(jié)論:DH⊥EN,DH=EH=HN.
理由:如圖2中,延長EH到N,使得HN=EH.連接DN,CN,DE,延長NC交AD于點(diǎn)M.
∵FH=HC,∠FHE=∠CHN,EH=HN,
∴△FHE≌△CHN(SAS),
∴EF=CN,∠FEH=∠CNH,
∴EF∥CN,
∵四邊形ABCD和AEFG都是正方形,
∴AD=DC,∠DAE=∠ADC=90°,AE=EF=CN,EF∥AG,
∵EF∥AG,EF∥NM,
∴AG∥NM,
∴∠GAD=∠NMD,
∵∠EAD=90°+∠DAG,∠DCN=90°+∠DMC,
∴∠EAD=∠DCN,
∵AD=CD,AE=CN,
∴△ADE≌△CDN(SAS),
∴DE=DN,∠ADE=∠CDN,
∴∠EDN=∠ADC=90°,
∵EH=HN,
∴DH⊥EN,DH=EH=HN.
(3)如圖3中,作EN⊥AB于N設(shè)BF交AB于M.
∵∠ENM=∠B=90°,∠EMN=∠BMF,EM=MF,
∴△ENM≌FBM(AAS),
∴NM=BM,設(shè)BM=NM=a,
∵AE=2EM,
∴tan∠EAM==
∵∠NEM+∠AEN=90°,∠EAN+∠AEN=90°,
∴∠EAN=∠NEM,
∴tan∠EAN=tan∠NEM=,
∴EN=2a,AN=4a,
∴AB=6a,AE==,
∴AE:AB=:6a=:3.
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(1)若OA=4,求k的值.
(2)連接OC,若AD=AC,求CO的長.
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【題目】如圖, 拋物線與軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n)與軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包 含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①;②;③對于任意實(shí)數(shù)m,總成立;④關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為
A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)
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【題目】某青年旅社有60間客房供游客居住,在旅游旺季,當(dāng)客房的定價(jià)為每天200元時(shí),所有客房都可以住滿.客房定價(jià)每提高10元,就會(huì)有1個(gè)客房空閑,對有游客入住的客房,旅社還需要對每個(gè)房間支出20元/每天的維護(hù)費(fèi)用,設(shè)每間客房的定價(jià)提高了x元.
(1)填表(不需化簡)
入住的房間數(shù)量 | 房間價(jià)格 | 總維護(hù)費(fèi)用 | |
提價(jià)前 | 60 | 200 | 60×20 |
提價(jià)后 |
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(2)若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客,則每間客房的定價(jià)應(yīng)為多少元?(純收入=總收入﹣維護(hù)費(fèi)用)
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+4ax+c的最大值為4,且圖象過點(diǎn)(﹣3,0).
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)若將該二次函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,請直接寫出旋轉(zhuǎn)后圖象的函數(shù)解析式.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)N,連接BM,DN.
(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的長.
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【題目】“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請根據(jù)你對這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m<n)是關(guān)于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的兩根,且a<b,則a、b、m、n的大小關(guān)系是( ).
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,⊙I是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別是D、E、F.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,則∠DFE的度數(shù)為 ;
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【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c,函數(shù)值y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表:
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(1)此二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線,此函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
(2)求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式;
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