Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)N，連接BM，DN.

（1）求證：四邊形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求MD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）MD長(zhǎng)為5．

【解析】

（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM2=AM2+AB2，即可列方程求得．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中，

∠DMO＝∠BNO，∠MDO＝∠NBO，OB＝OD，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

∵MN⊥BD，

∴平行四邊形BMDN是菱形．

（2）∵四邊形BMDN是菱形，∴MB=MD，

設(shè)MD長(zhǎng)為x，則MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8-x）2+42，

解得：x=5，

答：MD長(zhǎng)為5．

故答案為：（1）見解析；（2）MD長(zhǎng)為5．