【題目】定義:有兩條邊長的比值為的直角三角形叫做“魅力三角形”我們知道,命題“直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”是一個(gè)真命題,所以“含30°角的直角三角形”就是一個(gè)“魅力三角形”
(1)設(shè)“魅力三角形”較短直角邊為a,較長直角邊為b,請(qǐng)你直接寫出的值.
(2)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=6,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,滿足AD=DE,連結(jié)AE,過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于點(diǎn)F
①如果點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),求證:△BDF是“魅力三角形”
②如果△BDF是“魅力三角形”,且BF=BC,求線段AC的長
(二次根式運(yùn)算提示:()2=n2()2=n2a,比如:(4)2=42()2=16×3=48)
【答案】(1)或2;(2)①見解析;②AC的長為2或10或2或.
【解析】
(1)設(shè)斜邊長為c,分兩種情況①當(dāng)時(shí),c=2a,由勾股定理求出b,即可得出的值;
②當(dāng)時(shí),b=2a,即可得出的值;
(2)①證出∠BCD=30°,得出∠BDC=60°,由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠EDF=∠BDF=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出BF=DF,即可得出結(jié)論;
②分四種情況 當(dāng)=時(shí),求出BD=BF=1,得出AB=2BD=2,由勾股定理得出AC==2;
當(dāng)=時(shí),求出BD=2BF=4,得出AB=2BD=8,由勾股定理AC==10;
當(dāng)=時(shí),求出DF=2BF=4,由勾股定理得出BD==2,得出AB=2BD=4,由勾股定理得出AC==2;
當(dāng)=時(shí),由勾股定理求出BD=,得出AB=2BD=,由勾股定理得出AC==即可.
(1)解:設(shè)斜邊長為c,分兩種情況:
①當(dāng)時(shí),c=2a,
則b=,
∴==;
②當(dāng)時(shí),b=2a,
∴=2;
綜上所述,的值為或2;
(2)①證明:∵D是AB的中點(diǎn),
∴AD=BD,
∵AD=DE,
∴BD=DE,
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),
∴DE=CD,
∴BD=CD,
∵∠B=90°,
∴∠BCD=30°,
∴∠BDC=60°,
∵DF∥AE,
∴∠DEA=∠EDF,∠DAE=∠BDF,
∵AD=DE,
∴∠DAE=∠DEA,
∴∠EDF=∠BDF=30°,
∴BF=DF,
∴=,
∴△BDF是“魅力三角形”;
②解:分四種情況:
當(dāng)=時(shí),
∵BF=BC,BC=6,
∴BF=2,
∴BD=BF=1,
∵D是AB的中點(diǎn),
∴AB=2BD=2,
∴AC===2;
當(dāng)=時(shí),
∵BF=BC,BC=6,
∴BF=2,
∴BD=2BF=4,
∵D是AB的中點(diǎn),
∴AB=2BD=8,
∴AC===10;
當(dāng)=時(shí),
∵BF=BC,BC=6,
∴BF=2,
∴DF=2BF=4,
∴BD===2,
∵D是AB的中點(diǎn),
∴AB=2BD=4,
∴AC==2;
當(dāng)=時(shí),
∴DF=2BD,
∵BF=BC,BC=6,
∴BF=2,
由勾股定理得:DF2﹣BD2=BF2,即(2BD)2﹣BD2=22,
解得:BD=,
∴AB=2BD=,
∴AC=
==;
綜上所述,如果△BDF是“魅力三角形”,且BF=BC,線段AC的長為2或10或2或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D在BC的延長線上,連接AD,過B作BE⊥AD,垂足為E,交AC于點(diǎn)F,連接CE.
(1)求證:△BCF≌△ACD.
(2)猜想∠BEC的度數(shù),并說明理由;
(3)探究線段AE,BE,CE之間滿足的等量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,MN是⊙O的直徑,MN=4,點(diǎn)A在⊙O上,∠AMN=30°,B為的中點(diǎn),P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn).
(1)利用尺規(guī)作圖,確定當(dāng)PA+PB最小時(shí)P點(diǎn)的位置(不寫作法,但要保留作圖痕跡).
(2)求PA+PB的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(),將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。
(1)如圖1,直接寫出∠ABD的大。ㄓ煤的式子表示);
(2)如圖2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判斷△ABE的形狀并加以證明;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)DE,若∠DEC=45°,求的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)正整數(shù),由N個(gè)數(shù)字組成,若它的第一位數(shù)可以被1整除,它的前兩位數(shù)可以被2整除,前三位數(shù)可以被3整除,…,一直到前N位數(shù)可以被N整除,則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”.如:123的第一位數(shù)“1”可以被1整除,前兩位數(shù)“12”可以被2整除,“123”可以被3整除,則123是一個(gè)“精巧數(shù)”.
(1)若四位數(shù)是一個(gè)“精巧數(shù)”,求k的值;
(2)若一個(gè)三位“精巧數(shù)”各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù),請(qǐng)求出所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為2,過點(diǎn)B的直線且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱,D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn),則AD+CD的最小值是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,8),并且經(jīng)過A(8,0),點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A,C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),過點(diǎn)P作直線y=8的垂線,垂足為點(diǎn)F,點(diǎn)D,E的坐標(biāo)分別為(0,6),(4,0),連接PD,PE,DE.
(1)求拋物線的解析式;
(2)猜想并探究:對(duì)于任意一點(diǎn)P,PD與PF的差是否為固定值?如果是,請(qǐng)求出此定值;如果不是,請(qǐng)說明理由;
(3)求:①當(dāng)△PDE的周長最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo);②使△PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),y>0?當(dāng)x為何值時(shí),y<0?
(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京世界園藝博覽會(huì)(簡稱“世園會(huì)”)園區(qū)2019年4月29日至2019年10月7日在中國北京市延慶區(qū)舉行,門票價(jià)格如表:小明全家于9月28日集體入園參觀游覽,通過計(jì)算發(fā)現(xiàn):若提前兩天線上購買門票所需費(fèi)用為996元,而入園當(dāng)天購票所需費(fèi)用為1080元,則該家庭中可以購買優(yōu)惠票的有_____人.
票種 | 票價(jià)(元/人) | |
指定日 | 普通票 | 160 |
優(yōu)惠票 | 100 | |
平日 | 普通票 | 120 |
優(yōu)惠票 | 80 |
注1:“指定日”為開園日(4月29日)、五一勞動(dòng)節(jié)(5月1日)、端午節(jié)、中秋節(jié)、十一假期(含閉園日),“平日”為世園會(huì)會(huì)期除“指定日”外的其他日期;
注2:六十周歲及以上老人、十八周歲以下的學(xué)生均可購買優(yōu)惠票;
注3:提前兩天及以上線上購買世園會(huì)門票,票價(jià)可打九折,但僅限于普通票.
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