Question

【題目】邊長為a的正方形ABCD中，點E是BD上一點，過點E作EF⊥AE交射線CB于點F，連結CE．

（1）若點F在邊BC上（如圖）；

①求證：CE=EF；

②若BC=2BF，求DE的長．

（2）若點F在CB延長線上，BC=2BF，請直接寫出DE的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②DE=；（2）DE=.

【解析】

（1）①根據正方形的軸對稱性可得△ABE≌△CBE，從而可得∠BAE=∠BCE，再根據∠ABC=∠AEF=90°，可得∠BAE=∠EFC，繼而可得∠BCE=∠EFC，根據等角對等邊即可得CE=EF；

②過點E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，根據等腰三角形的性質結合已知條件可得，再根據四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，繼而可求得ED的長；

（2）如圖所示：過點E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，由正方形的對稱性可得△ABE≌△CBE，從而得∠BAE=∠BCE，繼而由已知可得CE=EF，可得FN=CN，根據BC=2BF，可得FC=a，繼而可得EN=BN=a，由此即可求得DE=a．

（1）①∵正方形ABCD關于BD對稱，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE．

又∵∠ABC=∠AEF=90°，

∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，

∴CE=EF；

②過點E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，

∵CE=EF，

∴N是CF的中點，

∵BC=2BF，

∴，

又∵四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，

∴CN=DM=ME，

∴ED=DM=CN=a；

（2）如圖所示：過點E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，

∵正方形ABCD關于BD對稱，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE．

又∵∠ABF=∠AEF=90°，

∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，

∴CE=EF．

∴FN=CN．

又∵BC=2BF，

∴FC=a，

∴CN=a，

∴EN=BN=a，

∴DE=a．