【題目】已知拋物線y=x2﹣mx+n經過點A(3,0).
(1)當m+n=﹣1時,求該拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)當B點坐標為(0,﹣3)時,若拋物線y=x2﹣mx+n圖象的頂點在直線AB上,求m、n的值;
(3)①設m=﹣2,當0≤x≤3時,求拋物線y=x2﹣mx+n的最小值;
②若當0≤x≤3時,二次函數y=x2﹣mx+n的最小值為﹣4,求m、n的值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3,頂點坐標為(1,﹣4);(2)或;(3)①-15;②m=2,n=﹣3.
【解析】
(1)將點A(3,0)代入解析式,得9﹣3m+n=0,與m+n=1組成方程組,解方程組求得m、n即可;
(2)先表示出二次函數y=x2﹣mx+n圖象的頂點,利用直線AB列出式子,再與點A在二次函數上得到的式子組成方程組求得m,n的值,
(3)①易求拋物線解析式為y=x2+2x﹣15.根據拋物線的對稱性和增減性來求二次函數y=x2﹣mx+n的最小值;
②本題要分三種情況:當對稱軸時;當對稱軸時;當對稱軸時,結合二次函數y=x2﹣mx+n的圖象經過點A得出式子9﹣3m+n=0,求出m,n但一定要驗證是否符合題意.
解:(1)將點A(3,0)代入y=x2﹣mx+n中,得9﹣3m+n=0,
又∵m+n=﹣1,
∴ ,解得 ,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴頂點坐標為(1,﹣4).
(2)二次函數y=x2﹣mx+n圖象的頂點坐標為,
設直線AB的解析式為y=kx+b,將A(3,0),B(0,﹣3)代入得 ,
解得
∴直線AB的解析式為y=x﹣3,
∵拋物線頂點在直線AB上,
∴得,
又∵二次函數y=x2﹣mx+n的圖象經過點A(3,0),
∴9﹣3m+n=0,
∴聯立方程組得 ,解得或;
(3)①∵二次函數y=x2﹣mx+n的圖象經過點A(3,0),
∴9﹣3m+n=0,
當m=﹣2時,解得n=﹣15,
∴二次函數的解析式為y=x2+2x﹣15,
∵對稱軸x=﹣1在0≤x≤3的左側,且二次函數的圖象開口向上,
∴x=0時,y取最小值,最小值是﹣15.
∴當0≤x≤3時,二次函數y=x2﹣mx+n的最小值為﹣15;
②二次函數y=x2﹣mx+n圖象的對稱軸為直線x=,頂點坐標為,
ⅰ)當對稱軸≥3時,即m≥6時,在0≤x≤3中,二次函數y=x2﹣mx+n的最小值的最小值為0,此種情況不合題意;
ⅱ)當對稱軸0<<3時,即0<m<6時,
解得 或 (舍去)
∴m=2,n=﹣3;
ⅲ)當對稱軸≤0時,即m≤0時,
解得 (舍去),
綜上所述當0≤x≤3時,二次函數y=x2﹣mx+n的最小值為﹣4時,m=2,n=﹣3.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】經過某十字路口的汽車,可能直行,也可能向左轉或向右轉.如果這三種可能性大小相同,現有兩輛汽車經過這個十字路口.
(1)用畫樹狀圖法或列表法分析這兩輛汽車行駛方向所有可能的結果;
(2)求一輛車向右轉,一輛車向左轉的概率;
(3)求至少有一輛車直行的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】閱讀對學生的成長有著深遠的影響,某中學為了解學生每周課余閱讀的時間,在本校隨機抽取了若干名學生進行調查,并依據調查結果繪制了以下不完整的統計圖表.
組別 | 時間(小時) | 頻數(人數) | 頻率 |
A | 0≤t≤0.5 | 6 | 0.15 |
B | 0.5≤t≤1 | a | 0.3 |
C | 1≤t≤1.5 | 10 | 0.25 |
D | 1.5≤t≤2 | 8 | b |
E | 2≤t≤2.5 | 4 | 0.1 |
合計 | 1 |
請根據圖表中的信息,解答下列問題:
(1)表中的a= ,b= ,中位數落在 組,將頻數分布直方圖補全;
(2)估計該校2000名學生中,每周課余閱讀時間不足0.5小時的學生大約有多少名?
(3)E組的4人中,有1名男生和3名女生,該校計劃在E組學生中隨機選出兩人向全校同學作讀書心得報告,請用畫樹狀圖或列表法求抽取的兩名學生剛好是1名男生和1名女生的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】隨著信息技術的迅猛發(fā)展,人們去商場購物的支付方式更加多樣、便捷.某校數學興趣小組設計了一份調查問卷,要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現將調查結果進行統計并繪制成如下兩幅不完整的統計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次活動共調查了 人;在扇形統計圖中,表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數為 ;
(2)將條形統計圖補充完整.觀察此圖,支付方式的“眾數”是“ ”;
(3)在一次購物中,小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了豐富校園文化生活,提高學生的綜合素質,促進中學生全面發(fā)展,學校開展了多種社團活動.小明喜歡的社團有:合唱社團、足球社團、書法社團、科技社團(分別用字母A,B,C,D依次表示這四個社團),并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上,然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.
(1)小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率是 .
(2)小明先從中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母后不放回,再從剩余的卡片中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母.請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數y=mx+n(m≠0)的圖象與反比例函數y(k≠0)的圖象交于第一、三象限內的A、B兩點,與y軸交于點C,過點B作BM⊥x軸,垂足為點M,BM=OM=2,點A的縱坐標為4.
(1)求該反比例函數和一次函數的表達式;
(2)根據圖象直接寫出當mx+n時,x的取值范圍;
(3)直線AB交x軸于點D,過點D作直線l⊥x軸,如果直線l上存在點P,坐標平面內存在點Q,使以O、P、A、Q為頂點的四邊形是矩形,直接寫出點P的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在⊙O中,點C為劣弧AB的中點,連接AC并延長至D,使CA=CD,連接DB并延長交⊙O于點E,連接AE.
(1)求證:AE是⊙O的直徑;
(2)如圖2,連接CE,⊙O的半徑為5,AC長為4,求陰影部分面積之和.(保留與根號) .
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