Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣mx+n經過點A（3，0）．

（1）當m+n＝﹣1時，求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）當B點坐標為（0，﹣3）時，若拋物線y＝x2﹣mx+n圖象的頂點在直線AB上，求m、n的值；

（3）①設m＝﹣2，當0≤x≤3時，求拋物線y＝x2﹣mx+n的最小值；

②若當0≤x≤3時，二次函數y＝x2﹣mx+n的最小值為﹣4，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，頂點坐標為（1，﹣4）；（2）或；（3）①-15；②m＝2，n＝﹣3．

【解析】

（1）將點A（3，0）代入解析式，得9﹣3m+n＝0，與m+n＝1組成方程組，解方程組求得m、n即可；

（2）先表示出二次函數y＝x2﹣mx+n圖象的頂點，利用直線AB列出式子，再與點A在二次函數上得到的式子組成方程組求得m，n的值，

（3）①易求拋物線解析式為y＝x2+2x﹣15．根據拋物線的對稱性和增減性來求二次函數y＝x2﹣mx+n的最小值；

②本題要分三種情況：當對稱軸時；當對稱軸時；當對稱軸時，結合二次函數y＝x2﹣mx+n的圖象經過點A得出式子9﹣3m+n＝0，求出m，n但一定要驗證是否符合題意．

解：（1）將點A（3，0）代入y＝x2﹣mx+n中，得9﹣3m+n＝0，

又∵m+n＝﹣1，

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴頂點坐標為（1，﹣4）．

（2）二次函數y＝x2﹣mx+n圖象的頂點坐標為，

設直線AB的解析式為y＝kx+b，將A（3，0），B（0，﹣3）代入得 ，

解得

∴直線AB的解析式為y＝x﹣3，

∵拋物線頂點在直線AB上，

∴得，

又∵二次函數y＝x2﹣mx+n的圖象經過點A（3，0），

∴9﹣3m+n＝0，

∴聯立方程組得 ，解得或；

（3）①∵二次函數y＝x2﹣mx+n的圖象經過點A（3，0），

∴9﹣3m+n＝0，

當m＝﹣2時，解得n＝﹣15，

∴二次函數的解析式為y＝x2+2x﹣15，

∵對稱軸x＝﹣1在0≤x≤3的左側，且二次函數的圖象開口向上，

∴x＝0時，y取最小值，最小值是﹣15．

∴當0≤x≤3時，二次函數y＝x2﹣mx+n的最小值為﹣15；

②二次函數y＝x2﹣mx+n圖象的對稱軸為直線x＝，頂點坐標為，

ⅰ）當對稱軸≥3時，即m≥6時，在0≤x≤3中，二次函數y＝x2﹣mx+n的最小值的最小值為0，此種情況不合題意；

ⅱ）當對稱軸0＜＜3時，即0＜m＜6時，

解得 或 （舍去）

∴m＝2，n＝﹣3；

ⅲ）當對稱軸≤0時，即m≤0時，

解得 （舍去），

綜上所述當0≤x≤3時，二次函數y＝x2﹣mx+n的最小值為﹣4時，m＝2，n＝﹣3．