【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形 OABC 是矩形,點 B 的坐標(biāo)為(4,3).

(1)直接寫出AC兩點的坐標(biāo);

(2)平行于對角線AC的直線 m 從原點O出發(fā),沿 x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運動,設(shè)直線 m 與矩形 OABC 的兩邊分別交于點M、N,設(shè)直線m運動的時間為t(秒).

MNAC,求 t 的值;

設(shè)OMN 的面積為S,當(dāng) t 為何值時,S=.

【答案】(1)A(4,0),C(0,3);(2)①t2 6;t=2 或 4+2

【解析】

(1)因為四邊形OABC是矩形且點B的坐標(biāo)為(4,3),所以可知,OA=CB=4,OC=AB=3,故可知A、C兩點的坐標(biāo);
(2)①可以分為兩種情況:當(dāng)M、N分別在OA、OC上時,可證明△OMN∽△OAC,由題意可求得OM的長,即可求得t的值;當(dāng)M、N分別在AB、BC上時,可證明△BMN∽△BAC,由題意可求得BM的長,即可由相似三角形的性質(zhì)求得t的值,綜合以上兩種情況即是要求的t值.
②可以分為兩種情況:當(dāng)M、N分別在OA、OC上時,可證明△OMN∽△OAC,由題意可求得OM、ON的長,即可求得面積的表達(dá)式,再由面積為可得t的值;當(dāng)M、N分別在AB、BC上時,由△DAM∽△AOC,可得AM,由△BMN∽△BAC,可得BN,即可得BM、CN,由S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積,可得關(guān)于t的表達(dá)式,再由面積為可得t的值,綜合以上兩種情況即是要求的t值.

解:(1)A(4,0),C(0,3);

(2)①x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運動,直線 m 運動的時間為 t , 可以分為兩種情況:

當(dāng) M、N 分別在 OA、OC 上時,如下圖所示:

直線 m 平行于對角線 AC

∴△OMN∽△OAC

==

t=2;

當(dāng) M、N 分別在 AB、BC 上時,如下圖所示:

直線 m 平行于對角線 AC

∴△BMN∽△BAC

=

t=6

綜上所述,當(dāng) t=2 6 時,MNAC

當(dāng) 0<t≤4 時,OMt,△OMN∽△OAC, ,

ONt,St2

t=2;

當(dāng) 4<t<8 時,

如圖,ODt,∴ADt﹣4.

DAM∽△AOCspan>,可得 AMt﹣4)

BM=6﹣t

BMN∽△BAC,可得 BNBM=8﹣t

CNt﹣4

S=矩形 OABC 的面積﹣Rt△OAM 的面積﹣Rt△MBN 的面積﹣Rt△NCO 的面積

=12﹣(8﹣t)(6﹣t)﹣

=﹣t2+3t,

∴﹣t2+3t=

解得:t=4±2

∴t=4+2

故當(dāng) t=2 4+2時,OMN 的面積 S

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