Question

【題目】如圖，在△ ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，延長AD至點E，使得AE=2AD，連接BE.

（1）求證：△ ABE 為等邊三角形；

（2）將一塊含 60°角的直角三角板 PMN 如圖放置，其中點 P 與點 E 重合，且∠NEM=60°，邊 NE 與 AB 交于點 G，邊 ME 與 AC 交于點 F. 求證：BG=AF。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先證明∠ABD=90°-∠BAE=30°，可知AB=2AD，由因為AE=2AD，所以AB=AE，從而可知△ABE是等邊三角形．
（2）由（1）可知：∠ABE=∠AEB=60°，AE=BE，然后求證△BEG≌△AEF即可得出BG=AF；

證明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴ ∠ABD=90°-∠BAE=30°，∴ AB=2AD，

∵ AE=2AD，∴ AB=AE，

∵ ∠BAE=60°，∴△ABE 是等邊三角形．

（2）∵ △ABE 是等邊三角形，

∴ ∠ABE=∠AEB=60°，AE=BE①，

由（1）∠CAE=60°，∴ ∠ABE=∠CAE②，

∵ ∠NEM=∠BEA=60°，∴ ∠NEM-∠AEN=∠BEA-∠AEN，

∴ ∠AEF=∠BEG③，

由①②③得： △BEG≌△AEF（ASA）

∴ BG=AF.