Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，與AC交于點E，AD，BE相交于點H，過點B作⊙O的切線交AC的延長線于點F，若CD＝BD．

（1）求證：AC＝AB．

（2）若AH：DH＝3：1，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由圓周角定理得出∠ADB=90°，得出AD⊥BC，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)DH=x，則AH=3x，AD=4x，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAD，由弦切角定理得出∠CBF=∠BAD=∠CAD，由圓周角定理得出∠CAD=∠DBE，證出∠BAD=∠DBE，證明△ABD∽△BHD，得出＝，求出BD=2x，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵CD＝BD，

∴AC＝AB；

（2）∵AH：DH＝3：1，

設(shè)DH＝x，則AH＝3x，AD＝4x，

∵AC＝AB，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵BF是⊙O的切線，

∴∠CBF＝∠BAD＝∠CAD，

∵∠CAD＝∠DBE，

∴∠BAD＝∠DBE，

∵∠ADB＝∠BDH，

∴△ABD∽△BHD，

∴＝，

∴BD2＝AD×DH＝4x×x＝4x2，

∴BD＝2x，

∴tan∠CBF＝tan∠BAD＝＝．