Question

【題目】對任意一個五位正整數(shù)m，如果首位與末位、千位與十位的和均等于9，且百位為0，則稱m為“開學(xué)數(shù)”．

（1）猜想任意一個“開學(xué)數(shù)”是否為的倍數(shù)，請說明理由；

（2）如果一個正整數(shù)a是另一個正整數(shù)b的立方，則稱正整數(shù)a是立方數(shù)．若五位正整數(shù)m為“開學(xué)數(shù)”，記，求滿足是立方數(shù)的所有m．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）記五位正整數(shù)，根據(jù)題意，，設(shè)為，為，即可用x、y表示m，對表達式進行因式分解即可得答案；（2）利用（1）中的表達式，根據(jù)立方數(shù)的定義可確定m的取值范圍，即可得立方數(shù)的個數(shù)，進而可得對應(yīng)的“開學(xué)數(shù)”的個數(shù).

：（1）記五位正整數(shù)（其中、、、為到之間的正整數(shù)，，），由題意可得：，．設(shè)為，為（，為到之間的正整數(shù)，），

則可表達為：10000x+1000y+0+10(9-y)+9-x

=9999x+990y+99

=99(101x+10y+1)

根據(jù)，的取值范圍，表達式為一個正整數(shù)，

故“開學(xué)數(shù)”是的倍數(shù)．

（2）若記，

則記．

根據(jù)正整數(shù)立方數(shù)的定義，，即的立方根是一個正整數(shù)．

，根據(jù)，的取值范圍，有開學(xué)數(shù)，，

可見滿足為立方數(shù)的是：，，…；對應(yīng)的“開學(xué)數(shù)”為：，，…，共計個數(shù)．