Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15<x<30.過點D作DE⊥AB于點E，將△ADE沿直線DE折疊，使點A落在點F處，DF交BC于點G.

(1)用含x的代數(shù)式表示BF的長．

(2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達式．

(3)當x為何值時，S有最大值？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】(1)2x-30;(2) S＝－x2＋60x－450;(3)x=20時，S最大值為150

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等式BF=AF-AB=2AE-AB=2DE-AB=2BC-AB，用含x的代數(shù)式表示BF的長；
（2）根據(jù)等量關(guān)系“S=S△DEF-S△GBF”列出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍求S的最大值．

試題解析：

(1)∵DE＝BC＝x，∠A＝45°，DE⊥AE，

∴AE＝DE＝x.

由折疊知，EF＝AE＝x，

∴BF＝AF－AB＝2x－30.

(2)∵S△DEF＝EF·DE＝x2，

S△BFG＝BF·BG＝ (2x－30)2，

∴S＝x2－ (2x－30)2＝－x2＋60x－450.

(3)∵15<x<30，

∴當x＝＝20時，S有最大值，S最大＝150.