Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣CB運(yùn)動，在邊AC上以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，在邊BC上以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，到點(diǎn)B停止，當(dāng)點(diǎn)P不與△ABC的頂點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)P作其所在直角邊的垂線交AB于點(diǎn)Q；以Q為直角頂點(diǎn)向PQ右側(cè)作Rt△PQD，且QD=PQ．設(shè)△PQD與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(s)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，求PQ的長(含t的代數(shù)式表示)；

（2）點(diǎn)D落在邊BC上時(shí)，求t的值；

（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）設(shè)PD的中點(diǎn)為E，作直線CE．當(dāng)直線CE將△PQD的面積分成1：5兩部分時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）PQ=4t；（2）t=；（3）S=；（4）或．

【解析】

（1）由PQ∥BC，推出△APQ∽△ACB，可得 ，由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題．

（2）當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，四邊形PCDQ是矩形，根據(jù)PC=DQ，構(gòu)建方程解決問題即可．

（3）分三種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是△PQD．②如圖3﹣2中，當(dāng)＜t＜2時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN．③如圖3﹣3中，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重疊部分是△PQN，分別求解即可．

（4）分兩種情形：①如圖4﹣1中，設(shè)直線CE交DQ于N，連接OE．當(dāng)QN=2DN時(shí)，直線CE將△PQD的面積分成1：5兩部分．②如圖4﹣2中，如圖4﹣2中，設(shè)直線CE交PQ于N，連接OE，延長QD交CE于M．當(dāng)QN=2PN時(shí)，直線CE將△PQD的面積分成1：5兩部分，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，

∴BC==8．

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ACB，

∴，

∴，

∴PQ=4t．

（2）當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，四邊形PCDQ是矩形，∴PC=DQ．

∵PQ=4t，DQ=PQ，

∴DQ=6t，

∴6﹣3t=6t，

解得：t=．

（3）①如圖3﹣1中，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是△PQD．

S=PQDQ=×4t×6t=12t2．

②如圖3﹣2中，當(dāng)＜t＜2時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN，

S=S△PQD﹣S△DMN=12t2﹣×（9t﹣6）×（9t﹣6）=﹣15t2+36t﹣12．

③如圖3﹣3中，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重疊部分是△PQN，

由題意PC=4（t﹣2），PB=BC﹣PC=16﹣4t=4（4﹣t），

∴PQ=3（4﹣t），DQ=（4﹣t）．

∵PB∥DQ，∴PN：DN=PB：DQ=8：9，

∴S=S△PQD=3（4﹣t）（4﹣t）=（4﹣t）2．

綜上所述：．

（4）①如圖4﹣1中，設(shè)直線CE交DQ于N，連接OE．

當(dāng)QN=2DN時(shí)，直線CE將△PQD的面積分成1：5兩部分．

∵PE=DE，PC∥DN，

∴，∴PC=DN，

∴QN=2PC，DQ=3PC，

∴6t=3（6﹣3t），

∴t=．

②如圖4﹣2中，如圖4﹣2中，設(shè)直線CE交PQ于N，連接OE，延長QD交CE于M．

當(dāng)QN=2PN時(shí)，直線CE將△PQD的面積分成1：5兩部分．

∵PC∥QM，PE=ED，

∴， ，

∴PC=DM=4（t﹣2），QM=2PC，

∴（4﹣t）+4（t﹣2）=2×4（t﹣2），

解得：t=，

綜上所述：滿足條件的t的值為或．