【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AC﹣CB運(yùn)動,在邊AC上以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動,在邊BC上以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動,到點(diǎn)B停止,當(dāng)點(diǎn)P不與△ABC的頂點(diǎn)重合時(shí),過點(diǎn)P作其所在直角邊的垂線交AB于點(diǎn)Q;以Q為直角頂點(diǎn)向PQ右側(cè)作Rt△PQD,且QD=PQ.設(shè)△PQD與△ABC重疊部分圖形的面積為S,點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí),求PQ的長(含t的代數(shù)式表示);
(2)點(diǎn)D落在邊BC上時(shí),求t的值;
(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)設(shè)PD的中點(diǎn)為E,作直線CE.當(dāng)直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分時(shí),直接寫出t的值.
【答案】(1)PQ=4t;(2)t=;(3)S=;(4)或.
【解析】
(1)由PQ∥BC,推出△APQ∽△ACB,可得 ,由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題.
(2)當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí),四邊形PCDQ是矩形,根據(jù)PC=DQ,構(gòu)建方程解決問題即可.
(3)分三種情形:①如圖3﹣1中,當(dāng)0<t≤時(shí),重疊部分是△PQD.②如圖3﹣2中,當(dāng)<t<2時(shí),重疊部分是四邊形PQMN.③如圖3﹣3中,當(dāng)2<t<4時(shí),重疊部分是△PQN,分別求解即可.
(4)分兩種情形:①如圖4﹣1中,設(shè)直線CE交DQ于N,連接OE.當(dāng)QN=2DN時(shí),直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分.②如圖4﹣2中,如圖4﹣2中,設(shè)直線CE交PQ于N,連接OE,延長QD交CE于M.當(dāng)QN=2PN時(shí),直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分,分別求解即可.
解:(1)如圖1中,當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí),
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,AC=6,
∴BC==8.
∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ACB,
∴,
∴,
∴PQ=4t.
(2)當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí),四邊形PCDQ是矩形,∴PC=DQ.
∵PQ=4t,DQ=PQ,
∴DQ=6t,
∴6﹣3t=6t,
解得:t=.
(3)①如圖3﹣1中,當(dāng)0<t≤時(shí),重疊部分是△PQD.
S=PQDQ=×4t×6t=12t2.
②如圖3﹣2中,當(dāng)<t<2時(shí),重疊部分是四邊形PQMN,
S=S△PQD﹣S△DMN=12t2﹣×(9t﹣6)×(9t﹣6)=﹣15t2+36t﹣12.
③如圖3﹣3中,當(dāng)2<t<4時(shí),重疊部分是△PQN,
由題意PC=4(t﹣2),PB=BC﹣PC=16﹣4t=4(4﹣t),
∴PQ=3(4﹣t),DQ=(4﹣t).
∵PB∥DQ,∴PN:DN=PB:DQ=8:9,
∴S=S△PQD=3(4﹣t)(4﹣t)=(4﹣t)2.
綜上所述:.
(4)①如圖4﹣1中,設(shè)直線CE交DQ于N,連接OE.
當(dāng)QN=2DN時(shí),直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分.
∵PE=DE,PC∥DN,
∴,∴PC=DN,
∴QN=2PC,DQ=3PC,
∴6t=3(6﹣3t),
∴t=.
②如圖4﹣2中,如圖4﹣2中,設(shè)直線CE交PQ于N,連接OE,延長QD交CE于M.
當(dāng)QN=2PN時(shí),直線CE將△PQD的面積分成1:5兩部分.
∵PC∥QM,PE=ED,
∴, ,
∴PC=DM=4(t﹣2),QM=2PC,
∴(4﹣t)+4(t﹣2)=2×4(t﹣2),
解得:t=,
綜上所述:滿足條件的t的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在直角坐標(biāo)系中△ABC的頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)為A(7,1),B(8,2),C(9,0).
(1)請?jiān)趫D中畫出△ABC的一個(gè)以點(diǎn)P(12,0)為位似中心,相似比為3的位似圖形△A'B'C'(要求與△ABC在P點(diǎn)同一側(cè));
(2)直接寫出A'點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)直接寫出△A'B'C'的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過學(xué)習(xí)銳角三角比,我們知道在直角三角形中,一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值是一一對應(yīng)的,因此,兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的,可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義:等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(can).
如圖(1)在△中,,底角的鄰對記作,這時(shí),容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對值也是一一對應(yīng)的.根據(jù)上述角的鄰對的定義解下列問題:
(1)= ;
(2)如圖(2),在△中,,,,求△的周長
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年,我國海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動,堅(jiān)決把“洋垃圾”拒于國門之外如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到港口正西方的處時(shí),發(fā)現(xiàn)在的北偏東方向,相距海里處的點(diǎn)有一可疑船只正沿方向行駛,點(diǎn)在港口的北偏東方向上,海監(jiān)船向港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從港口沿方向駛出,在處成功攔截可疑船只,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為海里.
(1)求的度數(shù)與點(diǎn)到直線的距離;
(2)執(zhí)法船從到航行了多少海里?(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(教材呈現(xiàn))
下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第79頁的部分內(nèi)容.
請根據(jù)教材內(nèi)容,結(jié)合圖①,寫出完整的解題過程.
(結(jié)論應(yīng)用)
(1)在圖①中,若AB=2,∠AOD=120°,則四邊形EFGH的面積為______.
(2)如圖②,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,O是其內(nèi)任意一點(diǎn),連接O與菱形ABCD各頂點(diǎn),四邊形EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別在AO、BO、CO、DO上,EO=2AE,EF∥AB∥GH,且EF=GH,若△EFO與△GHO的面積和為,則菱形ABCD的周長為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 已知∠ABC=90°,點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合),分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ,連接QE并延長交BP于點(diǎn)F. 試說明:(1)△ABP≌△AEQ;(2)EF=BF
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校組織七年級學(xué)生進(jìn)行“垃圾分類”知識測試,現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制如下頻數(shù)分布表以及頻數(shù)分布直方圖.
分?jǐn)?shù)檔 | 分?jǐn)?shù)段/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | 90<x≤100 | a | 0.12 |
B | 80<x≤90 | b | 0.18 |
C | 70<x≤80 | 20 | c |
D | 60<x≤70 | 15 | d |
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)已知A,B檔的學(xué)生人數(shù)之和等于D檔學(xué)生人數(shù),求被抽取的學(xué)生人數(shù),并把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.
(2)該校七年級共有200名學(xué)生參加測試,請估計(jì)七年級成績在C檔的學(xué)生人數(shù).
(3)你能確定被抽取的這些學(xué)生的成績的眾數(shù)在哪一檔嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,運(yùn)動時(shí)間為t秒(0<t<2),連接PQ.
(1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值;
(2)試探究t為何值時(shí),△BPQ的面積是cm2;
(3)直接寫出t為何值時(shí),△BPQ是等腰三角形;
(4)連接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn),交y 軸于點(diǎn)C:
(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)使,若存在請直接給出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在請說明理由.
(3)將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),與拋物線交于另一點(diǎn),求直線的解析式.
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