Question

如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）和點(diǎn)E，動點(diǎn)C從原點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點(diǎn)D從點(diǎn)B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點(diǎn)C、D同時出發(fā)，當(dāng)動點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動．

（1）直接寫出拋物線的解析式： 　；

（2）求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動時間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？

（3）當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

　

 

Answer 1

       解：（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x²+bx+c得：，

解得：b=3，c=8，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+3x+8，

故答案為：y=﹣x²+3x+8；

（2）∵點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x²+3x+8=0，

解得：x₁8，x₂=2，

∵點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)E（﹣2，0），

∴OE=2，

根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動t秒時，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=•DE•OC=•（10﹣t）•t=﹣t²+5t，

即S=﹣t²+5t=﹣（t﹣5）²+，

∴當(dāng)t=5時，S_最大=；

（3）由（2）知：當(dāng)t=5時，S_最大=，

∴當(dāng)t=5時，OC=5，OD=3，

∴C（0，5），D（3，0），

由勾股定理得：CD=，

設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，

將C（0，5），D（3，0），代入上式得：

k=﹣，b=5，

∴直線CD的解析式為：y=﹣x+5，

過E點(diǎn)作EF∥CD，交拋物線與點(diǎn)P，如圖1，

設(shè)直線EF的解析式為：y=﹣x+b，

將E（﹣2，0）代入得：b=﹣，

∴直線EF的解析式為：y=﹣x﹣，

將y=﹣x﹣，與y=﹣x²+3x+8聯(lián)立成方程組得：

，

解得：，，

∴P（，﹣）；

過點(diǎn)E作EG⊥CD，垂足為G，

∵當(dāng)t=5時，S_△ECD==，

∴EG=，

過點(diǎn)D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，過點(diǎn)N作NM⊥x軸，垂足為M，如圖2，

可得△EGD∽△DMN，

∴，

即：，

解得：DM=，

∴OM=，

由勾股定理得：MN==，

∴N（，），

過點(diǎn)N作NH∥CD，與拋物線交與點(diǎn)P，如圖2，

設(shè)直線NH的解析式為：y=﹣x+b，

將N（，），代入上式得：b=，

∴直線NH的解析式為：y=﹣x+，

將y=﹣x+，與y=﹣x²+3x+8聯(lián)立成方程組得：

，

解得：，，

∴P（8，0）或P（，），

綜上所述：當(dāng)△CED的面積最大時，在拋物線上存在點(diǎn)P（點(diǎn)E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）