Question

【題目】如圖，在正方形中，，交、于、，交于、．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）易證∠BAG=∠AHD，∠ABD=∠ADB=45°，即可證明△ABG∽△HDA，可得，即可得出結(jié)論；
（2）首先連接AC，由正方形ABCD，∠EAF=45゜，易證得∠ACE=∠ADN=∠CAD=45°，AC=AD，繼而可得∠EAC=∠NAD，則可證得△EAC∽△NAD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（3）根據(jù)兩邊的比相等，且夾角相等證明△GAH∽△EAF，得＝，所以EF=GH．

證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形
∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，
∵∠EAF=45°
∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，
∴∠BAG=∠AHD，
又∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴△ABG∽△HDA，
∴，
∴BGDH=ABAD=AD2；

（2）如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，
∴AC=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠CAD，
∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF，
∴∠EAC=∠GAD，
∴△EAC∽△GAD，
∴＝，
∴CE=DG；
（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，
∴ ＝，
同理得：△AFC∽△AHB，
∴ ＝，
∴＝，
∴，
∵∠GAH=∠EAF，
∴△GAH∽△EAF，
∴＝，
∴EF=GH．