(2011•自貢)已知拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)有如下兩個(gè)特點(diǎn):①無論實(shí)數(shù)a怎樣變化,其頂點(diǎn)都在某一條直線l上;②若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少
1
a
,縱坐標(biāo)增大
1
a
分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo);把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加
1
a
,縱坐標(biāo)增加
1
a
分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo),則A,B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)上.
(1)求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí),拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)的頂點(diǎn)所在直線l的解析式;
(2)請找出在直線l上但不是該拋物線頂點(diǎn)的所有點(diǎn),并說明理由;
(3)你能根據(jù)特點(diǎn)②的啟示,對一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)提出一個(gè)猜想嗎?請用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達(dá)出來,并給予證明.
分析:(1)取a=1和-1,求出兩點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出直線l的解析式即可;
(2)求出拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(-
1
a
,3-
1
a
)
,根據(jù)其取值,即可得出不是該拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)猜想:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少
1
a
,縱坐標(biāo)增加
1
a
分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo);把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加
1
a
,縱坐標(biāo)增加
1
a
分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo),則A,B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上;求出其橫、縱坐標(biāo),把橫坐標(biāo)代入函數(shù)式,驗(yàn)證即可;
解答:解:(1)取a=1,得拋物線y=x2+2x+3,
其頂點(diǎn)為P1(-1,2).
取a=-1,得拋物線y=-x2+2x+3,
其頂點(diǎn)為P2(1,4).
由題意有P1、P2在直線l上,設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,則
-k+b=2
k+b=4

解得:
k=1
b=3

∴直線l的解析式為y=x+3.

(2)∵拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(-
1
a
,3-
1
a
)

顯然P(-
1
a
,3-
1
a
)
在直線y=x+3上.
-
1
a
能取到除0以外的所有實(shí)數(shù),
∴在y=x+3上僅有一點(diǎn)(0,3)不是該拋物線的頂點(diǎn).

(3)猜想:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少
1
a
,縱坐標(biāo)增加
1
a
分別作為點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo);把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加
1
a
,縱坐標(biāo)增加
1
a
分別作為點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo),則A,B兩點(diǎn)也在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上.證明如下:
∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-
b+2
2a
4ac-b2+4
4a
)
,
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
-b+2
2a
,
4ac-b2+4
4a
)

x=-
b+2
2a
時(shí),y=ax2+bx+c=a(
-b+2
2a
)2+b(
-b+2
2a
)+c=
4ac-b2+4
4a

∴點(diǎn)A(-
b+2
2a
,
4ac-b2+4
4a
)
在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),
同理有B(
-b+2
2a
,
4ac-b2+4
4a
)
也在拋物線上,故結(jié)論成立.
點(diǎn)評:本題主要考查了二次函數(shù)的解析式及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,熟記二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式及其性質(zhì),是正確解答的關(guān)鍵.
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5
的圓上或圓內(nèi)的概率為( 。

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x2
x1
+
x1
x2
的值等于( 。

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