【題目】如圖①已知△ACB和△DCE為等腰直角三角形,按如圖的位置擺放,直角頂點

C重合.

(1)求證:AD=BE;

(2)將△DCE繞點C旋轉得到圖②,點AD、E在同一直線上時,若CD=,BE=3,

AB 的長;

(3)將△DCE繞點C順時針旋轉得到圖③,若∠CBD=45°,AC=6,BD=3,求BE的長.

【答案】(1)證明見解析;(2);(3)9

【解析】(1)利用等腰直角三角形的性質求出∠ACD=∠ECB,用SAS證明△ACD≌△BCE即可;(2)利用(1)的結論∠AEB=90°,在Rt△AEB中,用勾股定理求出AB;(3)連接AD, 求出∠ABD=90°,在Rt△ADB中,用勾股定理求出AD,由△ACD≌△BCE即可求得BE.

解:(1)∵△ACB和△DCE為等腰直角三角形

AC=CB,DC=CE,

∠ACB=90°, ∠DCE=90°

∴∠ACB-∠DCB =∠DCE-∠DCB

即∠ACD=ECB

∴△ACD≌△BCE (SAS)

AD=BE

(2)解:

∵△DCE為等腰直角三角形

∴DC=EC=

∴DE=2

∵△ACD≌△BCE (SAS)

∴AD=BE=3

ADC=BEC=180°-45°=135°

∴∠AEB=135°-45°=90°

在Rt AEB中,AB=

(3)連接AD,

∵△ACB為等腰直角三角形

∴AC=BC=6, ∠ABC=45°

∴AB=

∵∠CBD=45°

∴∠ABD=45°+45°=90°

在Rt ADB中,AD=

∵△ACD≌△BCE (SAS)

AD=BE=9

“點睛”本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形及勾股定理的運用,解題關鍵是證明兩個三角形全等,解題時要考慮輔助線的作法.

練習冊系列答案
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