Question

4．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ODEC是矩形；
（2）當(dāng)∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$時(shí)，求sin∠AED的值，求∠EAD的正切值．

Answer 1

分析 （1）先證四邊形ODEC是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，得到∠DOC=90°，根據(jù)矩形的定義即可判定四邊形ODEC是矩形；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F，構(gòu)建直角△DEF，在該直角三角形中，∠F=90°，∠EDF=30°，易求DF的長(zhǎng)度．所以通過(guò)解Rt△AFE來(lái)求tan∠EAD的值．

解答 （1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形ODEC是平行四邊形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°．
∴四邊形ODEC是矩形．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F．
∵AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{3}$，AO=OC=3．
∵四邊形ODEC是矩形，
∴DE=OC=3，∠ODE=90°．
又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF=180°，
∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$．
∴DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△AFE中，∠DFE=90°，
∴tan∠EAD=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{EF}{AD+DF}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的對(duì)角線互相平分且垂直．