【題目】長江汛期即將來臨,為便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況,防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈(如圖1),∠BAN=45°.燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn),燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是3度/秒,燈B轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的,即PQ∥MN.如圖2,兩燈同時轉(zhuǎn)動,在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作CD⊥AC交PQ于點D,則在轉(zhuǎn)動過程中,求∠BAC與∠BCD的比值,并說明理由.
【答案】2∠BAC=3∠BCD.
【解析】
設A燈轉(zhuǎn)動時間為t秒,根據(jù)A燈的轉(zhuǎn)動速度及鄰補角的定義,可用含t的代數(shù)式表示出∠CAN,而∠BAN=45°=∠BAC+∠CAN,因此用含t的代數(shù)式表示出∠BAC; 再利用平行線的性質(zhì),可知∠BCA=∠CBD+∠CAN,用含t的代數(shù)式表示出∠BCA,再根據(jù)垂直的定義,可證∠BCA+∠BCD=90°,再用含t的代數(shù)式表示出∠BCD,然后求出∠BAC與∠BCD的比值,即可得出它們之間的關(guān)系.
解:設A燈轉(zhuǎn)動時間為t秒,
∵∠CAN=180°﹣3t,
∴∠BAC=45°﹣(180°﹣3t)=3t﹣135°,
又∵PQ∥MN,
如圖,過點C作GH∥PQ∥MN,
則∠HCA=∠CAN,∠BCH=∠CBD,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t,
而∠ACD=90°,
∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣(180°﹣2t)=2t﹣90°,
即2∠BAC=3∠BCD.
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【題目】某學校準備從體育用品商店一次性購買若干個籃球和足球(每個籃球的價格相同,每個足球的價格相同),購買1個足球和2個籃球共需270元;購買2個足球和3個籃球共需440元.
(1)問足球和籃球的單價各是多少元?
(2)若購買足球和籃球共24個,且購買籃球的個數(shù)大于足球個數(shù)的2倍,購買球的總費用不超過2220元,問該學校有哪幾種不同的購買方案?
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【題目】如圖,甲轉(zhuǎn)盤被分成3個面積相等的扇形、乙轉(zhuǎn)盤被分成2個面積相等的扇形.小夏和小秋利用它們來做決定獲勝與否的游戲.規(guī)定小夏轉(zhuǎn)甲盤一次、小秋轉(zhuǎn)乙盤一次為一次游戲(當指針指在邊界線上時視為無效,重轉(zhuǎn)).
(1)小夏說:“如果兩個指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)之和為6或7,則我獲勝;否則你獲勝”.按小夏設計的規(guī)則,請你寫出兩人獲勝的可能性分別是多少?
(2)請你對小夏和小秋玩的這種游戲設計一種公平的游戲規(guī)則,并用一種合適的方法(例如:樹狀圖,列表)說明其公平性.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,,請確定點C的坐標,使得以A,B,C,O為頂點的四邊形是平行四邊形,則滿足條件的所有點C的坐標是___________.
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【題目】問題情境:如圖1,AB∥CD,∠A=30°,∠C=40°,求∠AEC的度數(shù).小明的思路是:
(1)初步嘗試:按小明的思路,求得∠AEC的度數(shù);
(2)問題遷移:如圖2,AB∥CD,點E、F為AB、CD內(nèi)部兩點,問∠A、∠E、∠F和∠D之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(3)應用拓展:如圖3,AB∥CD,點E、F為AB、CD內(nèi)部兩點,如果∠E+∠EFG=160°,請直接寫出∠B與∠D之問的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,中,,,點P從頂點B出發(fā),沿B→C→A以每秒1cm的速度勻速運動到A點,設運動時間為x秒,長度為y cm.某學習小組對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面是他們的探究過程,請補充完整:
(1)通過取點,畫圖,測量,得到了x(秒)與y(cm)的幾組對應值:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
y | 0.0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 4.2 | 3.6 | 3.2 | 3.0 | 3.6 | 4.2 | 5.0 |
要求:補全表格中相關(guān)數(shù)值(保留一位小數(shù));
(2)在平面直角坐標系中,描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:當x約為__________時,.
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【題目】對于平面直角坐標系中的圖形M和點P(點P在M內(nèi)部或M上),給出如下定義:
如果圖形M上存在點Q,使得,那么稱點P為圖形M的和諧點.
已知點,,,.
(1)在點,,中,矩形的和諧點是_________________;
(2)如果直線上存在矩形的和諧點P,求出點P的橫坐標t的取值范圍;
(3)如果直線上存在矩形的和諧點E,F,使得線段上的所有點(含端點)都是矩形的和諧點,且,求出b的取值范圍.
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【題目】“五一”期間,某商場搞優(yōu)惠促銷,決定由顧客抽獎確定折扣.某顧客購買甲、乙兩種商品,分別抽到七折(按售價的70%銷售)和九折(按售價的90%銷售),共付款386元,這兩種商品原銷售價之和為500元.問:這兩種商品的原銷售價分別為多少元?
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