Question

8．如圖，點(diǎn)D在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的邊AC上，且AD=2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°，若此時(shí)點(diǎn)A和點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作點(diǎn)E和點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF交邊AC與點(diǎn)G，那么tan∠AEG=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 作GM⊥AE于M，則∠AMG=90°，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△AEC≌△ABC，EF=AD=2，因此AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE-EF=4，得出AB∥CF，證出△ABG∽△CFG，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{AG}{CG}=\frac{AB}{CF}$=$\frac{3}{2}$，求出AG，再求出AM，得出GM、ME，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：作GM⊥AE于M，
則∠AMG=90°，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△AEC≌△ABC，EF=AD=2，
∴AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE-EF=4，
∴AB∥CF，
∴△ABG∽△CFG，
∴$\frac{AG}{CG}=\frac{AB}{CF}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴AG=$\frac{3}{5}$AC=3.6，
∵∠AGM=90°-60°=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AG=1$\frac{9}{5}$，
∴GM=$\sqrt{3}$AM=$\frac{9}{5}$$\sqrt{3}$，ME=AE-AM=$\frac{21}{5}$，
∴tan∠AEG=$\frac{GM}{ME}$=$\frac{\frac{9\sqrt{3}}{5}}{\frac{21}{5}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$；
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，求出GM和ME是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．