Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點,連結AE，作BF⊥AE，垂足為H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.

求證：（1） CG=BH；（2）FC2=BF·GF；（3）.

Answer 1

【答案】(1)、 (2)、 (3) 證明見解析

【解析】

證明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF.

∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=900, ∠CBG+∠BCG=900, ∠BAH+∠ABH=900,

∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG。

又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCG（ASA）。∴CG=BH。

（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=900，∴△CFG∽△BFC。

∴，即FC2=BF·GF。

（3）∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB =900，∴△CBG∽△FBC。

∴，即BC2=BF·BG。

∵AB=BC，∴AB2=BF·BG。

∴，即。

（1）由互余關系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可證△ABH≌△BCG，得出結論。

（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余關系可證△CFG∽△BFC，利用相似比得出結論。

（3）根據(jù)Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可證△CBG∽△FBC，利用相似比得出BC2=BF·BG，即AB2=BF·BG，結合（2）的結論求比即可。