【題目】綜合與探究

如圖,拋物線軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).

1)求拋物線解析式:

2)拋物線對稱軸上存在一點(diǎn),連接,當(dāng)值最大時,求點(diǎn)H坐標(biāo):

3)若拋物線上存在一點(diǎn),,當(dāng)時,求點(diǎn)坐標(biāo):

4)若點(diǎn)M平分線上的一點(diǎn),點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn),若以、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】1;(2)點(diǎn);(3;(4,

【解析】

1)把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式,解方程組求出a、b的值即可得答案;(2)連接AC,延長AC交拋物線對稱軸與H,由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線AC的解析式,根據(jù)拋物線解析式可得對稱軸方程,根據(jù)A、C、H三點(diǎn)在一條直線時,的值最大,即可得答案;(3)由C點(diǎn)坐標(biāo)可得ABCABP的高為4,可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)n=±4,把n=±4代入拋物線解析式求出m的值,根據(jù)mn>0即可得P點(diǎn)坐標(biāo);(4)設(shè)∠BAC的角平分線與y軸交于E點(diǎn),過點(diǎn)EEFAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證明AFEAOE,可得出AF的長,利用勾股定理可求出OE的長,可得E點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法可求出直線AE的解析式,分兩種情況:①當(dāng)∠ABM1=90°時,M1N1=AB,AN1=BM,M1Bx軸,可得點(diǎn)M1的橫坐標(biāo),代入AE的解析式可得點(diǎn)M1的縱坐標(biāo),即可得出BM的長,進(jìn)而可得N1點(diǎn)坐標(biāo);②當(dāng)∠AM2B=90°時,可知∠N2BA=BAE,過N2N2Gx軸,根據(jù)點(diǎn)E坐標(biāo)可得∠BAE的正弦值和余弦值,即可求出BN2的長,利用∠N2BA的正弦和余弦可求出N2GBG的長,進(jìn)而可得OG的長,即可得N2坐標(biāo);綜上即可得答案.

1)∵A-30),B40),點(diǎn)AB在拋物線上,

解得:

∴拋物線的解析式為:y=x2-x-4.

2)連接AC,延長AC交拋物線對稱軸與H

∵拋物線解析式為y=x2-x-4,與軸交于點(diǎn)C

C0,-4),對稱軸為直線x=-=,

≤AC

A、CH在一條直線上時取最小值,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

解得:,

∴直線AC的解析式為y=x-4

當(dāng)x=時,y=,

H點(diǎn)坐標(biāo)為(,.

3)∵SABC=SABP,

ABOC=AB

=4,

當(dāng)n=4時,4=m2-m-4,

解得m=,

mn>0

m=,

P點(diǎn)坐標(biāo)為(,4

當(dāng)n=-4時,-4=m2-m-4,

解得:m=1m=0,

mn>0,

m=1m=0均不符合題意,

綜上:P點(diǎn)坐標(biāo)為(,4.

4)設(shè)∠BAC的角平分線交y軸于E,過EEFACF,

A-30),B4,0),C0,-4),

AB=7AC=5,OA=3OC=4,

AE為∠BAC的角平分線,

OE=EF,

又∵AE=AE

AOEFAE,

AF=OA=3,

FC=5-3=2,

EF2+FC2=CE2,即OE2+22=(4-OE)2,

解得:OE=,

∵點(diǎn)Ey軸負(fù)半軸,

E點(diǎn)坐標(biāo)為(0-),

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,

解得:

∴直線AE的解析式為y=

①當(dāng)∠ABM1=90°時,

ANMB是矩形,

M1N1=AB=7,AN1=BM,M1Bx軸,AN1x軸,

x=4時,y=,

∴點(diǎn)N1坐標(biāo)為(-3,.

②當(dāng)∠AM2B=90°時,過N2N2Gx軸,

AM2BN2是矩形,

∴∠N2BA=BAE,

OA=3OE=

AE=,

sinBAE==,cosBAE==,

sinN2BA =,cosN2BA=

BN2=ABcosN2BA=,

N2G=BN2sinN2BA=,BG=BN2cosN2BA=,

OB-BG=-

∴點(diǎn)N2坐標(biāo)為(-,.

綜上所述:點(diǎn)N的坐標(biāo)為N1-3),N2-,.

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(1)當(dāng)身高為15的小紅站在繩子的正下方,且距小明拿繩子手的右側(cè)1處時,繩子剛好通過小紅的頭頂,求繩子所對應(yīng)的拋物線的表達(dá)式;

(2)若身高為的小麗也站在繩子的正下方.

①當(dāng)小麗在距小亮拿繩子手的左側(cè)1.5處時,繩子能碰到小麗的頭嗎?請說明理由;

②設(shè)小麗與小亮拿繩子手之間的水平距離為,為保證繩子不碰到小麗的頭頂,的取值范圍.(參考數(shù)據(jù): 3.16)

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1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

2)連接OB,求SAOCSBOC的值;

3)點(diǎn)Ex軸上一點(diǎn),且AOE是等腰三角形請直接寫出滿足條件的E點(diǎn)的個數(shù)(寫出個數(shù)即可,不必求出E點(diǎn)坐標(biāo)).

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