Question

在直角坐標(biāo)中，有兩個邊長都為10cm的等邊三角形△ABC和△DEF，且BC、DE與x軸重合，B與原點(diǎn)O重合，連結(jié)AD、CF．
（1）求證：四邊形ADFC是平行四邊形．
（2）若BD=3cm，△ABC沿著x軸正方向以每秒1cm的速度運(yùn)動，設(shè)△ABC運(yùn)動時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，?ADFC是矩形，并求過矩形頂點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式．
②在①的條件下，反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使|PC-PF|最大，若存在，畫出點(diǎn)P的位置，并求PC-PF絕對值的最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）因?yàn)椤鰽BC和△DEF是兩個邊長為10cm的等邊三角形所以AC=DF，又∠ACD=∠FDE=60°，可得AC∥DF，所以四邊形ADFC是平行四邊形；
（2）①當(dāng)t=13秒時，平行四邊形是矩形，此時B與F重合，而證得平行四邊形ADFC是矩形，然后表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式即可．
②首先根據(jù)C（23，0），F(xiàn)（8，-5

3

）得到直線CF的解析式為：y=

3

3

x-

23 3

3

，從而得到DC=20，DF=10；然后在經(jīng)過A的反比例函數(shù)上取一點(diǎn)P，則有PF-PC＜FC，從而耳朵當(dāng)P，F(xiàn)，C在同一直線上時PC-PF取最大值等于FC，然后根據(jù)DC=20，DF=10，∠DFC=90°利用勾股定理求得FC=10

3

，從而得到|PC-PF|最大值．

解答：（1）證明：∵△ABC和△DEF是兩個邊長都為l0cm的等邊三角形，
∴AC=DF=10cm，∠ACB=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四邊形ADFC是平行四邊形；

（2）解：①若平行四邊形ADFC是矩形，則∠ADF=90°，
∴∠ADC=90-60=30°
同理∠DAB=30°=∠ADC，
∴BA=BD，
同理EC=EF，
∴E與B重合，
∴BE=BD+DE=3+10=13
∴t=13÷1=13秒
在移動前A（5，5

3

），移動距離是13
∴移動后A（18，5

3

）
∴k=xy=18×5

3

=90

3

∴過矩形頂點(diǎn)A的反比例函數(shù)是：y=

90 3

x

，

②由題意可知：C（23，0），F(xiàn)（8，-5

3

）
∴直線CF的解析式為：y=

3

3

x-

23 3

3

，
∴DC=20，DF=10
在經(jīng)過A的反比例函數(shù)上取一點(diǎn)P，
那么在△PFC中有：FC+PC＞PF（三角形兩邊之和大于第三邊），
即PF-PC＜FC，
∴當(dāng)P，F(xiàn)，C在同一直線上時PC-PF取最大值等于FC，
∵DC=20，DF=10，∠DFC=90°
∵FC=

CD2-DF2

=

202-102

=10

3

，
∴|PC-PF|最大值等于10

3

．
P的位置如圖：

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用及反比例函數(shù)的綜合知識，此題把平行四邊形和矩形的判定都用于其中，可以讓學(xué)生在練習(xí)中加以區(qū)分、訓(xùn)練，此類題目往往是中考壓軸題，難度較大．