Question

如圖1，正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，點P在直線上AC（不與點O重合），作直線BP，分別作AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、點F．
（1）求證：△ABE≌△BCF；
（2）如圖2，連接OE，OF，判斷OE、OF的關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（3）若點P在如圖3所示位置，請判斷線段AE，OE，CF三者之間的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）利用正方形性質(zhì)得出∠BAE=∠FBC，進(jìn)而利用AAS得出△ABE≌△BCF；
（2）利用正方形性質(zhì)得出∠OBE=∠OCF，進(jìn)而利用SAS得出△OBE≌△OCF，進(jìn)而得出∠EOF=∠COE+∠COF=∠BOC=90°求出即可；
（3）首先利用正方形性質(zhì)以及全等三角形的判定得出△ABE≌△BCF，進(jìn)而得出△EOF是等腰直角三角形，求出即可．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、點F，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中

∠BEA=∠CFB ∠EAB=∠FBC AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
                  
（2）解：OE=OF，OE⊥OF
理由：連接BO，
∵正方形ABCD，
∴OB=OC，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°，
由（1）得∠ABE=∠BCF，BE=CF，
∴∠ABE-∠ABO=∠BCF-∠ACB，
即∠OBE=∠OCF，
在△OBE和△OCF中

BO=CO ∠OBE=∠OCF BE=CF

，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=∠BOC=90°，
∴OE⊥OF；
                     
（3）

2

EO=AE+FC，
理由：由題意可得：∠AEB=∠BFC=90°，∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中

∠AEB=∠BFC ∠EBA=∠FCB AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，F(xiàn)C=EB，
∴EF=BE+BF=AE+FC，
由（2）得：EO⊥FO，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴

2

EO=BE，
∴

2

EO=AE+FC．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．