【題目】△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm.長(zhǎng)為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A重合).過M,N分別作AB的垂線交直角邊于P,Q兩點(diǎn),線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.
(1)當(dāng)(0≤t≤1)時(shí),PM=____________ ,QN=___________(用t的代數(shù)式表示);
(2)線段MN運(yùn)動(dòng)過程中,四邊形MNQP有可能成為矩形嗎?若有可能,求出此時(shí)t的值;若不可能,說明理由;
(3)t為何值時(shí),以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?
【答案】(1)PM=t ,QN= (3-t);(2)t= s;(3)s或s
【解析】
(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm,得AB=4cm,在Rt△APM中和Rt△BNQ中利用正切即可求得PM和QN的值;
(2)當(dāng)PM=QN時(shí),四邊形MNQP為矩形,建立含t的方程,求得t的值;
(3)以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似有兩種情況,△PQC∽△ABC時(shí)和△QPC∽△ABC,分別相似三角形的判定和性質(zhì),求得相對(duì)應(yīng)的t的值.
(1)△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2cm,
∴AB=4cm,
經(jīng)過t秒,AM=t,
在Rt△APM中,∠A=60°,
∴PM=AMtan60°=t,
BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t,
∴QN= BNtan30°=(3-t),
故答案為:t;(3-t),
(2)∵AC=2,
∴AB=4,
∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t,
∴QN=BNtan30°=(3﹣t),
由條件知,若四邊形MNQP為矩形,需PM=QN,即t=(3﹣t),
∴t=,
∴當(dāng)t=s時(shí),四邊形MNQP為矩形;
(3)由(2)知,當(dāng)t= s時(shí),四邊形MNQP為矩形,此時(shí)PQ∥AB,
∴△PQC∽△ABC,
除此之外,當(dāng)∠CPQ=∠B=30°時(shí),△QPC∽△ABC,此時(shí) =tan30°=,
∵=cos60°=,
∴AP=2AM=2t,
∴CP=2﹣2t,
∵=cos30°=,
∴BQ= (3﹣t),
又∵BC=2,
∴CQ=2,
∴
,
∴當(dāng)s或s時(shí),以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,晚上,小亮在廣場(chǎng)上乘涼.圖中線段AB表示站在廣場(chǎng)上的小亮,線段PO表示直立在廣場(chǎng)上的燈桿,點(diǎn)P表示照明燈.
(1)請(qǐng)你在圖中畫出小亮在照明燈(P)照射下的影子;
(2)如果燈桿高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮與燈桿的距離BO=13m,請(qǐng)求出小亮影子的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt中,∠A=90°,AC=4,,將沿著斜邊BC翻折,點(diǎn)A落在點(diǎn)處,點(diǎn)D、E分別為邊AC、BC的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE并延長(zhǎng)交所在直線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié),如果為直角三角形時(shí),那么____________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=4,BC=6點(diǎn)D在底邊BC上,且∠DAC=∠ACD,將△ACD沿著AD所在直線翻折,使得點(diǎn)C落到點(diǎn)E處,聯(lián)結(jié)BE,那么BE的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長(zhǎng);中華漢字,寓意深廣,為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績(jī)均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績(jī)分布情況,隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績(jī)(成績(jī)x取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
成績(jī)x/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | n |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x≤100 | 50 | 0.25 |
請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)m= ,n= ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若成績(jī)?cè)?/span>90分以上(包括90分)的為“優(yōu)”等,則該校參加這次比賽的3000名學(xué)生中成績(jī)“優(yōu)”等約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm,點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動(dòng),已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng),Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng),PQ與直線AC相交于點(diǎn)D.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△PCQ的面積為S.
(1)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí),S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度是否改變?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖①.
(1)求證:ADCD=BDDE;
(2)若BD是邊AC的中線,如圖②,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(10分)如圖1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),連接DE. 將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
① 當(dāng)時(shí),;② 當(dāng)時(shí),
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤α<360°時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.
(3)問題解決
當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于B,C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)A,直線y=﹣x+2經(jīng)過A,C兩點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,直線MN與對(duì)稱軸交于點(diǎn)G,與拋物線交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)N在對(duì)稱軸右側(cè)),且MN∥x軸,MN=7.
(1)求此拋物線的解析式.
(2)求點(diǎn)N的坐標(biāo).
(3)過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)F,當(dāng)tan∠FAC=時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).
(4)過點(diǎn)D作直線AC的垂線,交AC于點(diǎn)H,交y軸于點(diǎn)K,連接CN,△AHK沿射線AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng),移動(dòng)過程中△AHK與四邊形DGNC產(chǎn)生重疊,設(shè)重疊面積為S,移動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤),請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式.
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