【題目】折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng),在折紙過程中,我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng),確定圖形位置等,進(jìn)一步發(fā)展空間觀念. 今天,就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙.
實(shí)踐操作
如圖1,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折,使點(diǎn)落在矩形ABCD所在平面內(nèi),C和AD相交于點(diǎn)E,連接D.
解決問題
(1)在圖1中,①D和AC的位置關(guān)系是_____;②將△AEC剪下后展開,得到的圖形是____;
(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)(AB≠BC),如圖2所示,結(jié)論①和結(jié)論②是否成立,若成立,請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;
拓展應(yīng)用
(3)在圖2中,若∠B=30o,AB=,當(dāng)A⊥AD時(shí),BC的長度為_____.
【答案】(1) BD′∥AC,菱形;(2)成立,理由見解析;(3)4或6或8或12.
【解析】
(1)①根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可判斷;
②根據(jù)菱形的判定方法即可解決問題;
(2)只要證明AE=EC,即可證明結(jié)論②成立;只要證明∠ADB′=∠DAC,即可推出B′D∥AC;
(3)先證得四邊形ACB′D是等腰梯形,分四種情形分別討論求解即可解決問題;
解:(1)①BD′∥AC.②將△AEC剪下后展開,得到的圖形是菱形;
故答案為BD′∥AC,菱形;
(2)①選擇②證明如下:
如圖2,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C,
∴∠ACB′=∠ACB,
∴∠DAC=∠ACB′,
∴AE=CE,
∴△AEC是等腰三角形;
∴將△AEC剪下后展開,得到的圖形四邊相等,
∴將△AEC剪下后展開,得到的圖形四邊是菱形.
②選擇①證明如下,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,
∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C,
∵B′C=BC,
∴B′C=AD,
∴B′E=DE,
∴∠CB′D=∠ADB′,
∵∠AEC=∠B′ED,∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC,
∴B′D∥AC.
(3)∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,
∴四邊形ACB′D是等腰梯形,
∵∠B=30°,∴∠AB′C=∠CDA=30°,
∵△AB′D是直角三角形,
當(dāng)∠B′AD=90°,AB>BC時(shí),如圖3中,
設(shè)∠ADB′=∠CB′D=y,
∴∠AB′D=y-30°,
解得y=60°,
∴∠AB′D=y-30°=30°,
∵AB′=AB=4
∴BC=4,
當(dāng)∠ADB′=90°,AB>BC時(shí),如圖4,
∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,
∴四邊形ACB′D是等腰梯形,
∵∠ADB′=90°,
∴四邊形ACB′D是矩形,
∴∠ACB′=90°,
∴∠ACB=90°,
∵∠B=30°,AB=4
當(dāng)∠B′AD=90°,AB<BC時(shí),如圖5,
∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,∠B′AD=90°,
∴∠AB′C=30°,
∴AE=4,BE′=2AE=8,
∴AE=EC=4,
∴CB′=12,
當(dāng)∠AB′D=90°時(shí),如圖6,
∵AD=BC,BC=B′C,
∴AD=B′C,
∵AC∥B′D,
∴四邊形ACDB′是平行四邊形,
∵∠AB′D=90°,
∴四邊形ACDB′是矩形,
∴∠BAC=90°,
∴已知當(dāng)BC的長為4或6或8或12時(shí),△AB′D是直角三角形.
故答案為:4或6或8或12;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,弦CD平分∠ACB,點(diǎn)E為弧AD上一點(diǎn),連接CE、DE,CD與AB交于點(diǎn)N.
(1)如圖1,求證:∠AND=∠CED;
(2)如圖2,AB為⊙O直徑,連接BE、BD,BE與CD交于點(diǎn)F,若2∠BDC=90°﹣∠DBE,求證:CD=CE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接OF,若BE=BD+4,BC=,求線段OF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教師為了對(duì)學(xué)生零花錢的使用進(jìn)行教育指導(dǎo),對(duì)全班50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢數(shù)額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查,并繪制了統(tǒng)計(jì)表及統(tǒng)計(jì)圖,如圖所示.
(1)這50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢數(shù)額的平均數(shù)是_______元/人;
(2)如果把全班50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢按照不同數(shù)額人數(shù)繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖,則一周內(nèi)的零花錢數(shù)額為5元的人數(shù)所占的圓心角度數(shù)是_____度;
(3)一周內(nèi)的零花錢數(shù)額為20元的有5人,其中有2名是女生, 3名是男生,現(xiàn)從這5人中選2名進(jìn)行個(gè)別教育指導(dǎo),請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求出剛好選中2名是一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字:-1,1,2的卡片,它們除數(shù)字不同外其余全部相同,現(xiàn)將它們背面朝上,洗勻后從中隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字,放回洗勻后再從中隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字.
(1)請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法(只選其中一種),表示兩次抽出卡片上的數(shù)字的所有結(jié)果;
(2)將第一次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,第二次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)y,求點(diǎn)(x,y)落在雙曲線上的概率.
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【題目】如圖,中,,,面積為150.
(1)尺規(guī)作圖:作的平分線交于點(diǎn);(不要求寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,求出點(diǎn)到兩條直角邊的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明利用剛學(xué)過的測量知識(shí)來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度。一天下午,他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前,由于有圍欄保護(hù),他們無法到達(dá)古樹的底部B,如圖所示。于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)D,并在點(diǎn)D處安裝了測量器DC,測得古樹的頂端A的仰角為45°;再在BD的延長線上確定一點(diǎn)G,使DG=5米,并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡,小明沿著BG方向移動(dòng),當(dāng)移動(dòng)帶點(diǎn)F時(shí),他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像,此時(shí),測得FG=2米,小明眼睛與地面的距離EF=1.6米,測傾器的高度CD=0.5米。已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上,且EF、CD、AB均垂直于FB,求這棵古樹的高度AB。(小平面鏡的大小忽略不計(jì))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,F是邊BC上一點(diǎn)(點(diǎn)F與點(diǎn)B、點(diǎn)C均不重合),AE⊥AF,AE交CD的延長線于點(diǎn)E,連接EF交AD于點(diǎn)G.
(1)求證:BFFC=DGEC;
(2)設(shè)正方形ABCD的邊長為1,是否存在這樣的點(diǎn)F,使得AF=FG.若存在,求出這時(shí)BF的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,下列網(wǎng)格由小正方形組成,點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.
(1)在圖1中畫出一個(gè)以線段為邊,且與面積相等但不全等的格點(diǎn)三角形;
(2)在圖2和圖3中分別畫出一個(gè)以線段為邊,且與相似(但不全等)的格點(diǎn)三角形,并寫出所畫三角形與的相似比.(相同的相似比算一種)
(1)
(2)
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