Question

從特殊到一般、類比等數(shù)學思想方法，在數(shù)學探究性學習中經(jīng)常用到，如下是一個具體案列，請完善整個探究過程．
已知：點C在直線AB上，AC=a，BC=b，且a≠b，點M是AB的中點，請按照下面三個步驟探究線段MC的長度．
（1）特值嘗試
若a=10，b=6，其點C在線段AB上，求線段MC的長度．
（2）周密思考
若a=10，b=6，則線段MC的長度只能是（1）中的結果嗎？請說明理由．
（3）問題解決
類比（1）（2）的解答思路，試探究線段MC的長度（用含a、b的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點：兩點間的距離

專題：探究型

分析：（1）由題意畫圖，根據(jù)圖形和線段之間的和差關系求解即可；
（2）由于點B的位置不能確定，故應分當B點在線段AC的上和當B點在線段AC的延長線上兩種情況進行分類討論；
（3）由（1）（2）可知MC的長度為AC-

1

2

AB，即可得到答案．

解答：解：（1）如圖：
∵AC=10，BC=6，
∴AB=AC+BC=16，
∵點M是AB的中點，
∴AM=

1

2

AB=8，
∴MC=AC-AM=10-8=2．
（2）線段MC的長度不只是（1）中的結果，
由于點B的位置不能確定，故應分當B點在線段AC的上和當B點在線段AC的延長線上兩種情況：
①如圖，當B點在線段AC上時，
∵AC=10，BC=6，
∴AB=AC-BC=4，
∵點M是AB的中點，
∴AM=

1

2

AB=2，
∴MC=AC-AM=10-2=8．
②當B點在線段AC的延長線上，如題（1），
此時MC=AC-AM=10-8=2．
（3）由（1）（2）可知MC=AC-AM=AC-

1

2

AB，
因為當B點在線段AC的上，AB=AC-BC，故MC=AC-

1

2

（AC-BC）=

1

2

AC+

1

2

BC=

1

2

（a+b），
當B點在線段AC的延長線上，AB=AC+BC，故MC=AC-

1

2

（AC+BC）=

1

2

AC-

1

2

BC=

1

2

（a-b）．

點評：本題主要考查中點的定義，線段之間的和差關系，兩點間的距離，掌握線段間的和差關系與分類討論的數(shù)學思想是解題的關鍵．