Question

【題目】如圖1，過原點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，其對(duì)稱軸交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)為拋物線上位于第一象限內(nèi)且在對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)滿足以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和原點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；

（2）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出AC的解析式，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，然后利用“鉛垂高，水平寬”即可求出面積與m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)求最值，即可求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）先證出為等邊三角形，然后根據(jù)P點(diǎn)的位置和菱形的頂點(diǎn)順序分類討論：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證：四邊形是菱形，即可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證：四邊形是菱形，先求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出BP，從而求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）解：設(shè)拋物線解析式為，

∵頂點(diǎn)

∴

又∵圖象過原點(diǎn)

∴解出：

∴即

（2）令，即，解出：或

∴

設(shè)直線AC的解析式為y=kx＋b

將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，可得

解得：

∴

過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

設(shè)，則

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)，有最大值

當(dāng)時(shí)，

∴

（3）∵，，

∴

∴

∴為等邊三角形

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

∴四邊形是菱形

∴

②作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

∴四邊形是菱形

∴點(diǎn)是的角平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，

∴，

∵，.

在Rt△OBP中，

∴

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或