Question

【題目】如圖，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA(不包括端點)上運動，且滿足，．

(1)求證：；

(2)試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

(3)請?zhí)骄克倪呅?/span>EFGH的周長一半與矩形ABCD一條對角線長的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形EFGH是平行四邊形，理由見解析；(3)四邊形EFGH的周長一半大于或者等于矩形ABCD一條對角線長度，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)得到：EH=GF，同理可得FE=HG，即可得四邊形EFGH是平行四邊形；
（3）由 軸對稱--最短路徑問題得到：四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴．

∴在與中，，

∴；

(2)∵由(1)知，，則，同理證得，則，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

(3) 四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．

理由如下：作G關(guān)于BC的對稱點G′，連接EG′，可得EG′的長度就是EF+FG的最小值．

連接AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
∴四邊形AEG′C為平行四邊形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四邊形EFGH的周長一半大于或等于矩形ABCD一條對角線長度．