Question

【題目】四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．

（1）如圖，求證：矩形是正方形；

（2）若，求的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)線段與正方形的某條邊的夾角是30°時(shí)，直接寫出的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）當(dāng)與的夾角為時(shí)，；當(dāng)與的夾角為時(shí)，

【解析】

（1）過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明，得到，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；

（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)是中點(diǎn)，點(diǎn)與重合，由（1）可知四邊形是正方形，由此即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形考慮問(wèn)題即可；

解：（1）證明：過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖：

∵四邊形為正方形

∴

∴

∵

∴

∵

∵

∴

∴在和

∴

∴

∴矩形是正方形．

（2）如圖：

∵由（1）可知，在中，

∴

∵

∴

∴與重合

∵四邊形是正方形

∴．

（3）①當(dāng)與的夾角為時(shí)，如圖：

∵，

∴

∴

∴；

②當(dāng)與的夾角為時(shí)，如圖：

∵，

∴

∴

∵

∴．

∴綜上所述， 或

故答案是：（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）當(dāng)與的夾角為時(shí)，；當(dāng)與的夾角為時(shí)，