Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y= x2﹣ x﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點C，頂點為D，作直線CD，點P是拋物線對稱軸上的一點，若以P為圓心的圓經(jīng)過A，B兩點，并且和直線CD相切，則點P的坐標(biāo)為

Answer 1

【答案】（4，0）或（4， ）
【解析】解：當(dāng)y=0時， x2﹣ x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=9，則A（﹣1，0），B（9，0），
當(dāng)x=0時，y= x2﹣ x﹣3=﹣3，則C（0，﹣3），
∵y= x2﹣ x﹣3= （x﹣4）2﹣ ，
∴拋物線的對稱軸為直線x=4，D點坐標(biāo)為（4，﹣ ），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，﹣3），D（4，﹣ ）代入得 ，解得 ，
∴直線CD的解析式為y=﹣ x﹣3，
過P點作PH⊥直線CD于H，連結(jié)PB，CD交x軸于E點，拋物線的對稱軸交x軸于F點，如圖，則F（4，0），E（﹣ ，0），
∴EF=4﹣（﹣ ）= ，F(xiàn)B= ，
∴DE= = ，
設(shè)P（4，t），則PD=t+ ，PB= = ，
∵以P為圓心的圓經(jīng)過A，B兩點，并且和直線CD相切，
∴PH=PB= ，
∵∠PDH=∠EDF，
∴Rt△DPH∽Rt△DEF，
∴ = ，即 = ，
整理得8t2﹣75t=0，解得t1=0，t2= ，
∴P點坐標(biāo)為（4，0）或（4， ）．
所以答案是（4，0）或（4， ）．

【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．