【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),B的坐標為(3,0),軸交于點C(0,-3),頂點為D

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標

(2)聯(lián)結(jié)AC,BC,求∠ACB的正切值

(3)點Px軸上一點是否存在點P使得PBDCAB相似,若存在請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由

(4)M是拋物線上一點,N,是否存在點N,使得以點AC,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由

【答案】(1)D(1,-4);(2)2;(3)P,0)或P(-3,0);(4)N(1,0)或(,0)或(-3,0).

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法,把B、C點的坐標代入解析式即可求解;

(2)作AH⊥BC于點H,通過與x軸的交點y=0構(gòu)成方程,解方程可得A點的坐標,然后解直角三角形可求解;

(3)作DG⊥OB于點G ,tan∠DBG=tan∠ACB,可得∠DBG=∠ACB,然后利用相似三角形的性質(zhì)和判定討論得到P點在在點B的左側(cè),再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可;

(4)設(shè)M點的坐標為(x,x2-2x-3),然后根據(jù)A、C點和M的坐標,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)與判定求出N點的坐標即可.

試題解析:(1)y=x2-2x-3

D(1,-4)

(2)AH⊥BC于點H

x2-2x-3=0

解得x=-1x=3

所以A點為(-1,0)

∵ OB=OC,∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∵AB=4

∴AH=BH=2

∵BC=3

∴CH=

∴tan∠ACB=2

(3)作DG⊥OB于點G

∵BG=2,DG=4

∴tan∠DBG=2

∵tan∠ACB=2

∴∠DBG=∠ACB

當(dāng)點P在點B的右側(cè)時,∠PBD>90°,△PBD是鈍角三角形與△CAB不相似,

所以點P在點B的左側(cè).

∵△PBD與△CAB相似,且∠DBG=∠ACB

∵BD=2

∴BP=BP=6

∴P(-,0)或P(-3,0)

(4)N(1,0)或(,0)或(-3,0).

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC的平分線交CD于點E.

(1)若∠A=70°,求∠ABE的度數(shù);

(2)若AB∥CD,且∠1=∠2,判斷DF和BE是否平行,并說明理由.

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【題目】如圖①,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點E在AC上(且不與點A、C重合),在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系;

(2)①將△CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點E在線段BC上時,如圖②,連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

②若AB=2,CE=2,在圖②的基礎(chǔ)上將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形時,直接寫出線段AE的長度.

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【題目】已知:如圖,△DAC、△EBC均是等邊三角形,點A、C、B在同一條直線上,且AE、BD分別與CD、CE交于點M、N.

求證:(1AE=DB

2△CMN為等邊三角形.

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【題目】近年來,青少年中的近視眼和肥胖案例日趨增多,人們普遍意識到健康的身體是學(xué)習(xí)的保障,所以體育活動越來越受重視.某商店分兩次購進跳繩和足球兩種商品進行銷售,每次購進同一種商品的進價相同,具體情況如下表所示.

購進數(shù)量()

購進所需費用()

跳繩

足球

第一次

30

40

3800

第二次

40

30

3200

(1)跳繩和足球兩種商品每件的進價分別是多少元?

(2)商店計劃用5300元的資金進行第三次進貨,共購進跳繩和足球兩種商品100件,其中要求足球的數(shù)量不少于跳繩的數(shù)量,有哪幾種進貨方案?

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1)小明家到學(xué)校的路程是多少米;

2)小明在書店停留了多少分鐘;

3)本次上學(xué)途中,小明一共行駛了多少米?一共用了多少分鐘?

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1)若黃老師家5月份用水16噸,問應(yīng)交水費多少元?

2)若黃老師家7月用水a噸,問應(yīng)交水費多少元?(用a的代數(shù)式表示)

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(1)當(dāng)AC,CD,DB滿足怎樣的關(guān)系時,△ACP∽△PDB?

(2)當(dāng)△ACP∽△PDB時,求∠APB的度數(shù).

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