Question

如圖14.1，在梯形ABCD中，AD//BC,點(diǎn)M、N分別在邊AB、DC上，且MN//AD，記AD=a ,BC=b.

若 AMMB= mn,則有結(jié)論：MN = bm+anm+n.

請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：

如圖14.2、14.3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于點(diǎn)P₁，交AB于點(diǎn)P₂，交AC于點(diǎn)P₃  .

(1)若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，求證： PP₁ = PP₂  + PP₃  ；

(2)若點(diǎn)P為線段EF上的任意點(diǎn)，試探究PP₁、PP₂、PP₃的數(shù)量關(guān)系，并給出證明。

Answer 1

解：（1）證明：過點(diǎn)E分別作BC、AB的垂線，垂足分別為M、N，過點(diǎn)F分別作BC、AC的垂線，垂足分別為G、H。

BE、CF分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，EN=EM，F(xiàn)H=FG，

PP2//EN，PP3//FH，點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，PP2=12EN=12EM,PP3=12FH=12FG.

PP1//FG//EM , FPPE, PP1= FG+EM1+1= FG+EM2=12FG+ 12EM = PP2+ PP3.

(2) PP1= PP2+ PP3.

證明：過點(diǎn)E分別作BC、AB的垂線，垂足分別為M、N，過點(diǎn)F分別作BC、AC的垂線，垂足分別為G、H。

令FG = a ,EM = b, FPPE= mn, PP1//FG//EM , PP1= bm+anm+n；

EM=EN, PP2EN= FPFPFP+PE= mm+n,PP2= mm+n·EN= mm+n·EM= bmm+n ；

同理可得：PP3 = nm+n·FH = nm+n·FG = anm+n；bmm+n+ anm+n= bm+anm+n,

PP1= PP2+ PP3.