Question

【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過(guò)點(diǎn)（1，1），點(diǎn)F（0，）在y軸上，直線與y軸交于點(diǎn)H，

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；

（3）當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為時(shí)，過(guò)O點(diǎn)作OQ⊥OP交拋物線于點(diǎn)Q，在y軸上找點(diǎn)C，使△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）見(jiàn)解析（3）C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，-）或（0,1）.

【解析】

（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y＝ax2，將點(diǎn)（1，1）代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM，∠PFM＝∠PMF，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論；

（3）先求出P（，2），得到OE=，PE=2,過(guò)點(diǎn)Q作QA⊥x軸與點(diǎn)A,根據(jù)OP⊥OQ，利用tan∠POE= tan∠AQO求出OA=QA，設(shè)Q(a,a2)代入二次函數(shù)得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，故得到OQ的長(zhǎng)，再根據(jù)當(dāng)△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形分①當(dāng)OQ=OC時(shí)與②當(dāng)OQ=CQ時(shí)分別進(jìn)行求解.

（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2，

將（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2；

（2）證明：∵點(diǎn)P在拋物線y＝x2上，

∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），

過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，

則BF＝| x2|，PB＝|x|，

∴Rt△BPF中，

PF＝=，

∵PM⊥直線，

∴PM＝，

∴PF＝PM，

∴∠PFM＝∠PMF，

又∵PM∥y軸，

∴∠MFH＝∠PMF，

∴∠PFM＝∠MFH，

∴FM平分∠OFP；

（3）當(dāng)x=時(shí)，y=，

∴P（，2）

設(shè)OM與x軸交于E點(diǎn)，

∴OE=，PE=2,

過(guò)點(diǎn)Q作QA⊥x軸與點(diǎn)A,

∵OP⊥OQ，

∴∠QOP=90°

∴∠AQO+∠QOA=90°=∠QOA+∠POE，

∴∠POE=∠AQO

∴tan∠POE= tan∠AQO==

∴OA=QA

設(shè)Q(a,a2),∴-a=a2,

解得a1=0(舍去),a2=-

∴Q（-，）

∴QO=

當(dāng)△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，

∴①當(dāng)OQ=OC時(shí)，即C點(diǎn)為（0，）或（0，-）

②當(dāng)OQ=CQ時(shí)，設(shè)C（0,c）則=

解得,c1=1，c2=0（舍去），

∴C（0,1）

綜上：C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，-）或（0,1）.