【題目】已知在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,點(diǎn)P是直線AB上任意一點(diǎn),聯(lián)結(jié)PC,在∠PCD內(nèi)部作射線CQ與對(duì)角線BD交于點(diǎn)Q(與B、D不重合),且∠PCQ=30°.

1)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí),如果BP=3,求線段PC的長(zhǎng);

2)當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上時(shí),設(shè),求y關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域;

3)聯(lián)結(jié)PQ,直線PQ與直線BC交于點(diǎn)E,如果相似,求線段BP的長(zhǎng).

【答案】1;(2);(3

【解析】

1)如圖1中,作PHBCH.解直角三角形求出BHPH,在RtPCH中,由勾股定理即可解決問(wèn)題.
2)如圖1中,作PHBCH,連接PQ,設(shè)PCBDO.證明△POQ∽△BOC,推出∠OPQ=OBC=30°=PCQ,推出PQ=CQ=y,推出PC=y,在RtPHB中,BH=x,PH=x,根據(jù)PC2=PH2+CH2,可得結(jié)論.
3)分以下幾種情形:①如圖2中,若直線QP交直線BCB點(diǎn)左側(cè)于E.②如圖3中,若直線QP交直線BCC點(diǎn)右側(cè)于E.③如圖④中,點(diǎn)PAB的延長(zhǎng)線上,直線PQBC的交點(diǎn)E在線段BC上.分別求解即可.

解:(1)如圖1中,作PHBCH
∵四邊形ABCD是菱形,
AB=BC=4,ADBC
∴∠A+ABC=180°,
∵∠A=120°,
∴∠PBH=60°,
PB=3,∠PHB=90°,
BH=PBcos60°=PH=PBsin60°=,
CH=BC-BH=4-=
PC==

2)如圖1中,作PHBCH,連接PQ,設(shè)PCBDO
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠ABD=CBD=30°,
∵∠PCQ=30°,
∴∠PBO=QCO,
∵∠POB=QOC
∴△POB∽△QOC,

,
∵∠POQ=BOC
∴△POQ∽△BOC,
∴∠OPQ=OBC=30°=PCQ,
PQ=CQ=y,
PC=y
RtPHB中,BH=xPH=x,
PC2=PH2+CH2,
3y2=x2+4-x2
y=0x8.

3)①如圖2中,若直線QP交直線BCB點(diǎn)左側(cè)于E
此時(shí)∠CQE=120°,
∵∠PBC=60°,
∴△PBC中,不存在角與∠CQE相等,
此時(shí)△QCE與△BCP不可能相似.

②如圖3中,若直線QP交直線BCC點(diǎn)右側(cè)于E
則∠CQE=ABC=QBC+QCP=60°=CBP,
∵∠PCB>∠E,
∴只可能∠BCP=QCE=75°,
CFABF,則BF=2CF=2,∠PCF=45°,
PF=CF=2,
此時(shí)PB=2+2.

③如圖4中,若點(diǎn)PAB的延長(zhǎng)線上,直線PQBC的交點(diǎn)E在線段BC上,

因?yàn)椤?/span>EQC=PBC=120°,

要使相似,
只有∠QCE=PCE=15°,

此時(shí)∠BPC=45°,

過(guò)點(diǎn)CCFABF,

可得BF=2,CF=2=PF,

此時(shí)PB=PF-BF=2-2.

綜上所述,滿足條件的PB的值為2+22-2

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為慶祝建國(guó)70周年,某校舉辦了愛(ài)我中華知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).該校南、北兩個(gè)校區(qū)七年級(jí)各有300名學(xué)生參加競(jìng)賽活動(dòng).為了解這兩個(gè)校區(qū)參賽學(xué)生成績(jī)情況,從中各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行調(diào)查,過(guò)程如下:

(收集、整理、描述數(shù)據(jù))根據(jù)隨機(jī)抽取的10名學(xué)生的成績(jī),制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表:

(說(shuō)明:成績(jī)90分及以上為優(yōu)秀,80-89分為良好,60-79分為合格,60分以下為不合格)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

南校

92

100

86

80

73

98

54

95

98

85

北校

100

100

94

83

74

86

75

100

73

75

(分析數(shù)據(jù))對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,分別求出了兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表:

校區(qū)

平均數(shù)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

南校

87

905

北校

86

100

(得出結(jié)論)綜合上述統(tǒng)計(jì)全過(guò)程,回答下列問(wèn)題:

1)補(bǔ)全表格.

2)估計(jì)北校七年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù).

3)你認(rèn)為哪個(gè)校區(qū)的七年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)比較好?說(shuō)明你的理由.(從兩個(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】安全使用電瓶車可以大幅度減少因交通事故引發(fā)的人身傷害,為此交警部門(mén)在全區(qū)范圍開(kāi)展了安全使用電瓶車專項(xiàng)宣傳活動(dòng).在活動(dòng)前和活動(dòng)后分別隨機(jī)抽部分使用電瓶車的市民,就騎電瓶車戴安全帽情況(:每次戴、:經(jīng)常戴、:偶爾戴、:都不戴)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,將相關(guān)的數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計(jì)圖表.

活動(dòng)前騎電瓶車戴安全帽情況統(tǒng)計(jì)表

類別

人數(shù)

68

245

510

177

合計(jì)

1000

1)宣傳活動(dòng)前,在抽取的市民中哪一類別的人數(shù)最多?占抽取人數(shù)的百分之幾?

2)該區(qū)約有37萬(wàn)人使用電瓶車,請(qǐng)估計(jì)活動(dòng)前全市騎電瓶車“都不戴”安全帽的總?cè)藬?shù);

3)小明認(rèn)為,宣傳活動(dòng)后騎電瓶車“都不戴”安全帽的人數(shù)為178,比活動(dòng)前增加了1人,因此交警部門(mén)開(kāi)展的宣傳活動(dòng)沒(méi)有效果.小明分析數(shù)據(jù)的方法是否合理?請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表,談?wù)勀銓?duì)交警部門(mén)宣傳活動(dòng)的效果的看法.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(問(wèn)題)用n個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)n矩形,有多少種不同的鑲嵌方案?(n矩形表示矩形的鄰邊是2n

(探究)不妨假設(shè)有an種不同的鑲嵌方案.為探究an的變化規(guī)律,我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略,先從最簡(jiǎn)單情形入手,再逐次遞進(jìn),最后猜想得出結(jié)論.

探究一:用1個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)2×1矩形,有多少種不同的鑲嵌方案?

如圖(1),顯然只有1種鑲嵌方案.所以,a11

探究二:用2個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)2×2矩形,有多少種不同的鑲嵌方案?

如圖(2),顯然只有2種鑲嵌方案.所以,a22

探究三:用3個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)2×3矩形,有多少種不同的鑲嵌方案?

一類:在探究一每個(gè)鑲嵌圖的右側(cè)再橫著鑲嵌2個(gè)2×1矩形,有1種鑲嵌方案;

二類:在探究二每個(gè)鑲嵌圖的右側(cè)再豎著鑲嵌1個(gè)2×1矩形,有2種鑲嵌方案;

如圖(3).所以,a31+23

探究四:用4個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)2×4矩形,有多少種不同的鑲嵌方案?

一類:在探究二每個(gè)鑲嵌圖的右側(cè)再橫著鑲嵌2個(gè)2×1矩形,有   種鑲嵌方案;

二類:在探究三每個(gè)鑲嵌圖的右側(cè)再豎著鑲嵌1個(gè)2×1矩形,有   種鑲嵌方案;

所以,a4   

探究五:用5個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)2×5矩形,有多少種不同的鑲嵌方案?

(仿照上述方法,寫(xiě)出探究過(guò)程,不用畫(huà)圖)

……

(結(jié)論)用n個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)n矩形,有多少種不同的鑲嵌方案?

(直接寫(xiě)出anan1,an2的關(guān)系式,不寫(xiě)解答過(guò)程).

(應(yīng)用)用10個(gè)2×1矩形,鑲嵌一個(gè)2×10矩形,有   種不同的鑲嵌方案.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知一居民樓前方處有一建筑物,小敏在居民樓的頂部處和底部處分別測(cè)得建筑物頂部的仰角為,求居民樓的高度和建筑物的高度(結(jié)果取整數(shù))

(參考數(shù)據(jù):,)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平行四邊形中,,點(diǎn),分別在邊上,且

1)如圖1,若,求證:

2)如圖2,若,且點(diǎn)的中點(diǎn),連接于點(diǎn),求;

3)如圖3,若,探究線段、、三之間的數(shù)量關(guān)系,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一座堤壩的橫截面是梯形,根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù),求壩高和壩底寬(精確到0.1m)參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=AC,BDAC,垂足為E,點(diǎn)FBD的延長(zhǎng)線上,且DF=DC,連接AF、CF.

(1)求證:∠BAC=2DAC

(2)AF10,BC4,求tanBAD的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖,已知底座BC=0.60米,底座BC與支架AC所成的角ACB=75°,支架AF的長(zhǎng)為2.50米,籃板頂端F點(diǎn)到籃框D的距離FD=1.35米,籃板底部支架HE與支架AF所成的角FHE=60°,求籃框D到地面的距離(精確到0.01米)(參考數(shù)據(jù):cos75°0.2588,sin75°0.9659,tan75°3.732,1.732,1.414)

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同步練習(xí)冊(cè)答案