Question

對于課本復習題18的第14題“如圖（1），四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE=EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）”，小華在老師的啟發(fā)下對題目進行了拓廣探索，發(fā)現(xiàn)：當原題中的“中點E”改為“直線BC上任意一點（B、C兩點除外）時”，結(jié)論AE=EF都能成立．現(xiàn)請你證明下面這種情況：
如圖（2），四邊形ABCD是正方形，點E為BC反向延長線上一點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CM所在直線于點F．求證：AE=EF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：探究型

分析：在AB延長線上截取BG=BE，連接EG．證得在△EAG和△FEC中，EAG=∠FEC，AG=CE，∠AGE=∠ECF，得出三角形全等，得出結(jié)論．

解答：證明：如圖，

在AB延長線上截取BG=BE，連接EG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
又∵BG=BE，
∴AG=CE．
∵∠ABC=∠BCD=90°，BG=BE，CM為正方形外角平分線
∴∠AGE=∠ECF=45°                       
∵∠ABE=90°，∠AEF=90°
∴∠AEB+∠EAG=90°，∠AEB+∠FEC=90°
∴∠EAG=∠FEC                       
又AG=CE，∠AGE=∠ECF，
在△EAG和△FEC中，

∠EAG=∠FEC AG=CE ∠AGE=∠ECF

，
∴△EAG≌△FEC（ASA），
∴AE=EF．

點評：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識點，注意結(jié)合圖形，靈活作出輔助線解決問題．