Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，線段BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E、P為線段BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作PF∥y軸交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)DF．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求PF的長(zhǎng)度，用含m的代數(shù)式表示．
（3）當(dāng)四邊形PEDF為平行四邊形時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)之間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較的縱坐標(biāo)，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)之間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較的縱坐標(biāo)，可得DE的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x²+2x+3；
（2）∵此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x²+2x+3，
∴C（0，3）．
設(shè)BC所在的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b，將B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即BC的函數(shù)解析式為y=-x+3．
由P在BC上，F(xiàn)在拋物線上，得
P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3）．
PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m．
（3）如圖，
∵此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x²+2x+3，
∴D（1，4）．
∵線段BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=2，
∴E（1，2），
∴DE=4-2=2．
由四邊形PEDF為平行四邊形，得
PF=DE，即-m²+3m=2，
解得m₁=1，m₂=2．
當(dāng)m=1時(shí)，線段PF與DE重合，m=1（不符合題意，舍）．
當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)之間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較的縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用平行四邊形的對(duì)邊相等得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．