Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，線段BC與拋物線的對稱軸交于點E、P為線段BC上的一點（不與點B、C重合），過點P作PF∥y軸交拋物線于點F，連結(jié)DF．設點P的橫坐標為m．
（1）求此拋物線所對應的函數(shù)表達式．
（2）求PF的長度，用含m的代數(shù)式表示．
（3）當四邊形PEDF為平行四邊形時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得C點坐標，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得F點坐標，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標，可得DE的長，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值．

解答 解：（1）∵點A（-1，0），點B（3，0）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
此拋物線所對應的函數(shù)表達式y(tǒng)=-x²+2x+3；
（2）∵此拋物線所對應的函數(shù)表達式y(tǒng)=-x²+2x+3，
∴C（0，3）．
設BC所在的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b，將B、C點的坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即BC的函數(shù)解析式為y=-x+3．
由P在BC上，F(xiàn)在拋物線上，得
P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3）．
PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m．
（3）如圖，
∵此拋物線所對應的函數(shù)表達式y(tǒng)=-x²+2x+3，
∴D（1，4）．
∵線段BC與拋物線的對稱軸交于點E，
當x=1時，y=-x+3=2，
∴E（1，2），
∴DE=4-2=2．
由四邊形PEDF為平行四邊形，得
PF=DE，即-m²+3m=2，
解得m₁=1，m₂=2．
當m=1時，線段PF與DE重合，m=1（不符合題意，舍）．
當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標是解題關鍵；利用平行四邊形的對邊相等得出關于m的方程是解題關鍵．