Question

如圖：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H，連接BM．
（1）求直線AC的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向 以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠MPB與∠BCO互為余角？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知A點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)OA=OC，就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)P的位置應(yīng)分P在AB和BC上，兩種情況進(jìn)行討論．當(dāng)P在AB上時(shí)，△PMB的底邊PB可以用時(shí)間t表示出來，高是MH的長(zhǎng)，因而面積就可以表示出來，再利用當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，表示出P₁B，BM長(zhǎng)即可得出答案；
（3）本題可以分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸垂足為E，如圖（1）
∵A（-3，4），
∴AE=4 OE=3，
∴OA=

AE2+OE2

=5，
∵四邊形ABCO為菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，則

5k+b=0 -3k+b=4

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線AC的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）由（1）得M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

5

2

），
∴OM=

5

2

，
如圖（1），當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)
由題意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-

5

2

=

3

2

，
∴s=

1

2

BP•MH=

1

2

（5-2t）•

3

2

，
∴s=-

3

2

t+

15

4

（0≤t＜

5

2

），
當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記為P₁，
在△OMC和△BMC中

CO=CB ∠OCM=∠BCM CM=CM

∴△OMC≌△BMC（SAS），
∴OM=BM=

5

2

，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=

1

2

P₁B•BM=

1

2

（2t-5）×

5

2

，
∴S=

5

2

t-

25

4

（

5

2

＜t≤5）；

（3）∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵M(jìn)H⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，4）；
當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（3），過點(diǎn)P作PN⊥CO于點(diǎn)N，
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴

BM

BP

=

HM

HB

，
即

5 2

BP

=

3 2

2

，
∴BP=

10

3

，
∴PC=BC-BP=5-

10

3

=

5

3

，
∵

HO

AH

=

PN

NC

=

4

3

，
∴PN=

4

3

，NC=1，
∴NO=4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，

4

3

），
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，4）；（4，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及全等三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，利用分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．