Question

20．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且BE=DF，連接EF；作CH⊥EF，連接CE、BH，若BH=8，EF=4$\sqrt{10}$，則正方形ABCD的邊長是（　�。�

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 5$\sqrt{5}$
• D． 6$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 連接AH，AC，CF，BH與AC交于M，推出△BCE≌△CDF，由全等三角形的性質(zhì)得到CE=CF，∠BCE=∠DCF，求得∠ECF=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CH=EH=HF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{10}$，證得BH垂直平分AC，得到AM=BM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，設(shè)BC=x，根據(jù)勾股定理得到HM=$\sqrt{C{H}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{40-\frac{1}{2}{x}^{2}}$，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：連接AH，AC，CF，BH與AC交于M，
∵在正方形ABCD中，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°∴∠CDF=90°，
在△BCE與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠ABBC=∠CDF=90°}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠ECF=90°，
∴CH=EH=HF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{10}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$EF，
∴AH=CH，
∵AB=BC，
∴BH垂直平分AC，
∴AM=BM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
設(shè)BC=x，
∴BM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
HM=$\sqrt{C{H}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{40-\frac{1}{2}{x}^{2}}$，
∵BH=8，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{40-\frac{1}{2}{x}^{2}}$=8，
∴x=6$\sqrt{2}$或x=2$\sqrt{2}$（不合題意舍去），
∴BC=6$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的邊長是6$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．