Question

某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，有如下探討：
甲同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)這種多邊形不一定是正多邊形．如圓內(nèi)接矩形不一定是正方形．
乙同學(xué)：我知道邊數(shù)為3時，它是正三角形；我想，邊數(shù)為5時，它可能也是正五邊形…
丙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)為6時，它也不一定是正六邊形．如圖2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，這樣構(gòu)造的六邊形ADBECF不是正六邊形．

（1）如圖1，若圓內(nèi)接五邊形ABCDE的各內(nèi)角均相等，則∠ABC=

 

°，并簡要說明圓內(nèi)接五邊形ABCDE為正五邊形的理由；
（2）如圖2，請證明丙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；
（3）根據(jù)以上探索過程，就問題“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”的結(jié)論與“邊數(shù)n（n≥3，n為整數(shù)）”的關(guān)系，提出你的猜想（不需證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：探究型

分析：（1）運(yùn)用n邊形的內(nèi)角和定理就可求出∠ABC的度數(shù)；已知圓內(nèi)接五邊形ABCDE的各內(nèi)角均相等，要證該五邊形為正五邊形，只需證該五邊形的各邊均相等，只需利用弧與圓周角之間的等量關(guān)系就可解決問題．
（2）由△ABC是正三角形可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AFC、∠ADB、∠BEC均為120°，由

AD

=

CF

可得∠ABD=∠CAF，即可求出∠DAF=120°，同理可得∠DBE=∠ECF=120°，問題得以解決．
（3）依據(jù)對（1）、（2）的探索積累的經(jīng)驗(yàn)就可提出合理的猜想．

解答：解：（1）∵五邊形的內(nèi)角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC=

540°

5

=108°．
故答案為：108．
理由：如圖1，
∵∠A=∠B
∴

BCE

=

CEA

，
∴

BCE

-

CDE

=

CEA

-

CDE

，
∴

BC

=

AE

，
∴BC=AE．
同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，
∴BC=DE=AB=CD=AE，
∴五邊形ABCDE是正五邊形；                      

（2）證明：如圖2，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵四邊形ABCF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=120°．
同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°．
∵∠ADB=120°，
∴∠DAB+∠ABD=60°．
∵

AD

=

CF

，
∴∠ABD=∠CAF，
∴∠DAB+∠CAF=60°，
∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．
同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，
∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，
故圖2中六邊形各角相等；                      

（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：
當(dāng)n（n≥3，n為整數(shù)）是奇數(shù)時，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；
當(dāng)n（n≥3，n為整數(shù)）時偶數(shù)時，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形不一定為正多邊形．

點(diǎn)評：本題主要探究的是各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形的構(gòu)成條件，用到了弧與圓周角之間的等量關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、n邊形內(nèi)角和定理等知識，而運(yùn)用弧與圓周角之間的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；本題充分體現(xiàn)了合作與探究的新課程理念，是一道好題．