Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0）、B（6，8），點P是線段OA上一動點（不與點A重合），以PA為半徑的⊙P與線段AB的另一個交點為C，作CD⊥OB于D（如圖1）．
（1）①BO=

 

      ②求證：CD是⊙P的切線；
（2）點G為坐標軸上任意一點，△ABG為直角三角形，求點G的坐標；
（3）當OP=2時，連接PB交CD于F，求DF的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①根據兩點間的距離公式可計算出OB=10，
②連接PC，如圖1，由OA=10得OA=OB，根據等腰三角形的性質得∠B=∠OAB，再由PA=PC得到∠PAC=∠PCA，則∠PCA=∠B，根據平行線的判定得到PC∥OB，然后根據平行線的性質由CD⊥OB得到PC⊥OB，再根據切線的判定定理得CD是⊙P的切線；
（2）分類討論：當G點在x軸上，設G點坐標為（m，0），利用兩點間的距離公式得到AB²=（10-6）²+8²，AG²=（10-m）²，BG²=（6-m）²+8²，若AB²+AG²=BG²，即（10-6）²+8²+（10-m）²=（6-m）²+8²；若AB²+BG²=AG²，即（10-6）²+8²+（6-m）²+8²=（10-m）²；若AG²+BG²=AB²，即（10-m）²+（6-m）²+8²=（10-6）²+8²，然后分別解方程求出m的值得到G點坐標；
當G點在y軸上，設G點坐標為（0，t），同樣得到AB²=（10-6）²+8²，AG²=10²+t²，BG²=6²+（t-8）²，也同樣得到關于t的方程，解方程求出t即可得到G點坐標；
（3）作BH⊥OA于H，PQ⊥OB于Q，如圖2，先計算出AB=4

5

，利用PC∥OB，根據平行線分線段成比例定理可計算出BC=

4 5

5

，再證明Rt△OQP∽Rt△OHB，
利用相似比計算出PQ=

8

5

，易得CD=

8

5

；接著在Rt△BDC中利用勾股定理計算出BD=

4

5

，然后證明△BDF∽△PCF，利用相似比得

DF

FC

=

1

10

，再根據比例的性質可計算出DF．

解答：（1）①解：∵B點坐標為（6，8），
∴OB=

62+82

=10，
故答案為10；
②連接PC，如圖1，
∵點A（10，0），
∴OA=10，
∴OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠PCA=∠B，
∴PC∥OB，
∵CD⊥OB，
∴PC⊥OB，
∴CD是⊙P的切線；
（2）解：當G點在x軸上，設G點坐標為（m，0），
而A（10，0），B（6，8），則AB²=（10-6）²+8²，AG²=（10-m）²，BG²=（6-m）²+8²，
若AB²+AG²=BG²，即（10-6）²+8²+（10-m）²=（6-m）²+8²，解得m=10（舍去）；
若AB²+BG²=AG²，即（10-6）²+8²+（6-m）²+8²=（10-m）²，解得m=-10，此時G點坐標為（-10，0）；
若AG²+BG²=AB²，即（10-m）²+（6-m）²+8²=（10-6）²+8²，解得m₁=10（舍去），m₂=6，此時G點坐標為（6，0）；
當G點在y軸上，設G點坐標為（0，t），則AB²=（10-6）²+8²，AG²=10²+t²，BG²=6²+（t-8）²，
若AB²+AG²=BG²，即（10-6）²+8²+10²+t²=6²+（t-8）²，解得t=-5，此時G點坐標為（0，-5）；
若AB²+BG²=AG²，即（10-6）²+8²+6²+（t-8）²=10²+t²，解得t=5，此時G點坐標為（0，5）；
若AG²+BG²=AB²，即10²+t²+6²+（t-8）²=（10-6）²+8²，此方程無解，
綜上所述，點G的坐標為（-10，0）、（6，0）、（0，-5）、（0，5）；
（3）解：作BH⊥OA于H，PQ⊥OB于Q，如圖2，∵OP=2，
∴PA=10-2=8，
∴PC=8，
∵A（10，0），B（6，8），
∴AB=

(10-6)2+82

=4

5

，
∵PC∥OB，
∴

BC

AB

=

OP

OA

，即

BC

4 5

=

2

10

，解得BC=

4 5

5

，
∵∠POQ=∠BOH，
∴Rt△OQP∽Rt△OHB，
∴

PQ

BH

=

OP

OB

，即

PQ

8

=

2

10

，解得PQ=

8

5

，
∵CD⊥OB，PC⊥CD，
∴四邊形PCDQ為矩形，
∴CD=PQ=

8

5

，
在Rt△BDC中，∵CD=

8

5

，BC=

4 5

5

，
∴BD=

BC2-CD2

=

4

5

，
∵BD∥PC，
∴△BDF∽△PCF，
∴

DF

FC

=

BD

PC

=

4 5

8

=

1

10

，
∴

DF

DF+FC

=

1

1+10

，即

DF

8 5

=

1

11

∴DF=

8

55

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、等腰三角形的性質；會運用勾股定理、兩點間的距離公式和相似比計算線段的長；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．