Question

【題目】如圖①，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，將沿軸正方向平移后，點(diǎn)、點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，且四邊形為菱形，連接，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，點(diǎn)為上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為

求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

求線段長度的最大值；

如圖②，延長交軸于點(diǎn)，連接，若為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）先求出A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BC，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可求出結(jié)論；

（2）作PH⊥x軸于H，交AC于點(diǎn)G，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)，則，從而求出PG與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出PE與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；

（3）根據(jù)點(diǎn)P在BC上方的拋物線上和在AB上方的拋物線上分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)列出一元二次方程，即可求出結(jié)論．

（1）∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴，

∵四邊形ABCD為菱形

∴，

∴

∴，

解得：

∴拋物線的解析式為：；

（2）作PH⊥x軸于H，交AC于點(diǎn)G，

設(shè)直線AC為：，

∴，

解得，

∴．

設(shè)，則，

∴=

∵，

∴∠BAO=60°，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠CAD=30°，

∴∠PGE=∠AGH=60°，

∴，

∴===，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上方的拋物線上時(shí)，作PH⊥x軸于H，

由（2）知∠CAD=30°，

∵PE⊥AC

∴∠PFO=90°－∠CAD=60°

∵△OPF為等腰三角形

∴△OPF為等邊三角形

∴∠POH=60°

∴PH=OH·tan∠POH=

設(shè)，則PH=，OH=x

∴

解得：（不符合前提條件，舍去）

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②當(dāng)點(diǎn)P在AB上方的拋物線上時(shí)，作PH⊥x軸于H，

由（2）知∠CAD=30°，

∵PE⊥AC

∴∠PFA=90°－∠CAD=60°

∴∠PFO=120°

∴等腰三角形OPF中，FO=FP

∴∠FOP=∠FPO=∠PFA=30°

在Rt△OPH中， PH=OH·tan∠POH=

設(shè)（x＜0），則PH=，OH=-x

∴

解得：（不符合前提條件，舍去）

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．