Question

17．如圖，△ABC中，∠B=45°，∠C=65°，點D在AB上，點E在AC上，且DE∥BC，△ADE沿DE折疊，點A對稱點為F點．
（1）若點A落在BC邊上（如圖1），求證：△BDF是等腰直角三角形；
（2）若點A落在三角形內(nèi)（如圖2），過點D、F、C在一條直線上，求△CEF各角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)得出∠ADE=45°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出∠ADE=∠EDF=45°，進而得出∠BDF=90°即可得出答案；
（2）利用平行線的性質(zhì)得出∠ADE=45°、∠AED=65°，由翻折可得∠FDE=∠ADE=45°、∠FED=∠AED=65°，進而有∠FEC=50°、∠FCE=∠ACB-∠BCD=20°，根據(jù)內(nèi)角和定理可得∠EFC度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠B=45°，DE∥BC，
∴∠ADE=45°，
∵△ADE沿DE折疊，點A對應點為F點，
∴∠ADE=∠EDF=45°，
∴∠BDF=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形；
（2）∵DE∥BC，∠B=45°，∠ACB=65°，
∴∠ADE=∠B=45°，∠AED=∠ACB=65°，
∵△ADE沿DE折疊，點A對應點為F點，
∴∠FDE=∠ADE=45°，∠FED=∠AED=65°，
∴∠BCD=∠FDE=45°，∠FEC=180°-∠FED-∠AED=50°，
由∠ACB=65°，可得∠FCE=∠ACB-∠BCD=20°，
在△ECF中，∠EFC=180°-∠ECF-∠CEF=110°，
故△CEF中，∠FEC=50°，∠ECF=20°，∠EFC=110°．

點評 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識，正確利用翻折變換的性質(zhì)得出∠ADE=∠EDF、∠FED=∠AED是解題關(guān)鍵．