【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+2與x軸交于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為D.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線(xiàn)AD的解析式;
(2)如圖1,連接CD、AD、BD,點(diǎn)M為線(xiàn)段CD上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)M作MN∥BD交線(xiàn)段AD于N點(diǎn),點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△CMN的面積最大時(shí),求△MPN的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,線(xiàn)段AE在第一象限內(nèi)交BD于點(diǎn)E,其中tan∠EAB=,將拋物線(xiàn)向右水平移動(dòng),點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G;將△ABD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后的三角形紀(jì)為△A1BD1,若射線(xiàn)BD1與線(xiàn)段AE的交點(diǎn)為F,連接FG.若線(xiàn)段FG把△ABF分成△AFG和△BFG兩個(gè)三角形,是否存在點(diǎn)G,使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)D(,2);直線(xiàn)AD解析式y=x+;(2)P(0,);(3)G(,0),(,0),(,0).
【解析】
(1)根據(jù)題意可得A,B,C坐標(biāo),根據(jù)對(duì)稱(chēng)可求D點(diǎn)坐標(biāo),用待定系數(shù)法可求AD解析式;(2)作DH⊥AB,MT⊥AB,交AD于T,作NK⊥MT,設(shè)M(m,2),則T(m,m+),根據(jù)相似三角形可得MK=MT,用m表示△CMN的面積,根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題,可求M點(diǎn)坐標(biāo),作M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1(- ,2),連接M1N交y軸于點(diǎn)P,利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式以及直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法求得點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖3,4,5,分類(lèi)討論,通過(guò)數(shù)量關(guān)系列出方程,可求G點(diǎn)坐標(biāo).
(1)令x=0,則y=2,
∴C(0,2),
∵對(duì)稱(chēng)軸為x=,且C,D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),
∴D(,2).
令y=0,則0=﹣x2+x+2,
∴x1=﹣,x2=2,
∴A(﹣,0),B(2,0),
設(shè)直線(xiàn)AD解析式y=kx+b,
,
解得:k=1,b=,
∴直線(xiàn)AD解析式y=x+;
(2)如圖1:作DH⊥AB,MT⊥AB,交AD于T,作NK⊥MT
設(shè)M(m,2),則T(m,m+)
∵A(﹣,0),D(,2),
∴AH=DH
∴∠DAH=∠ADH=45°=∠CDA
∵MT∥DH,KN∥CD
∴∠KNT=∠KTN=45°=∠CDA
∴KT=KN,MT=MD
∵MN∥BD,
∴∠MND=∠ADB且∠CDA=∠DAB
∴△ADB∽△MND,
∴,
∴ND=MD.
∵DT=MD,
∴NT=MD.
∵KN∥CD,
∴,
∴KT=MT
∴KM=MT=(﹣m)
∴S△CMN=CM×KM=m×(﹣m)=﹣m2+m
∴當(dāng)m=時(shí),S△CMN最大值.
∴M(,2).
如圖2 作M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1(﹣,2),
由B(2,0),D(,2)得到直線(xiàn)BD的解析式為:y=﹣2x+4.
∵MN∥BD,
∴設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為:y=﹣x+t.
把M(,2)代入求得:y=﹣x+.
聯(lián)立方程組,
解之得,即N(),
由M1(﹣,2),N()得到直線(xiàn)M1N的解析式為:y=﹣x+.
令x=0,則y=,即:P(0,).
(3)如圖3:
①當(dāng)AG=FG,∠GFB=90°時(shí),∵tan∠EAB=,
∴設(shè)FH=a,則AH=2a,設(shè)AG=FG=x,則GH=2a﹣x
∵FH2+GH2=FG2
∴a2+(2a﹣x)2=x2
∴x=a,
∴GH=a,
∵FH⊥AB,GF⊥FB
∴∠FBG=∠GFH
∴tan∠GFH=tan∠FBG
∴,
∴BH=a
∵AH+BH=AB=3,
∴2a+a=3,
∴a=,
∵OG=AG﹣AO
∴OG=×﹣=,
∴G(,0)
②如圖4
當(dāng)FG=BG,∠AGF=90°時(shí),設(shè)GF=a,則AG=2a,BG=a,
∴AB=AG+BG=3a=3,
∴a=,
∴G(,0);
③如圖5:
當(dāng)FG=BG,∠AFG=90°時(shí),設(shè)GF=a,則BG=a,AG=a.
∴AB=AG+BG=a+a=3,
∴a=,
∵OG=AG﹣AO=a﹣=,
∴G(,0),
綜上所述G(,0),(,0),(,0).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,CD是∠ACB的平分線(xiàn), DE垂直平分BC,若DE=2,則AB=___________.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對(duì)稱(chēng)軸為x=,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),下列說(shuō)法:①abc<0;②﹣2b+c=0;③4a+2b+c<0;④若( ,y1)、(,y2)是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn),則y1<y2;⑤>m(am+b)(其中m≠).其中說(shuō)法正確的是_____
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【題目】某科研小組獲取了聲音在空氣中傳播的速度v與空氣溫度t關(guān)系的一些數(shù)據(jù)如下表:
溫度t(°C) | -20 | -10 | 0 | 10 | 20 | 30 |
聲速v(m/s) | 318 | 324 | 330 | 336 | 342 | 348 |
(1)根據(jù)表中提供的信息,可推測(cè)速度v是溫度t的一次函數(shù),請(qǐng)你寫(xiě)出其函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)空氣溫度為25°C,聲音10秒可以傳播多少米?
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【題目】直線(xiàn)y=2x+3與拋物線(xiàn)y=ax2交于A、B兩點(diǎn),已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB的面積.
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【題目】已知邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B在原點(diǎn),把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無(wú)滑動(dòng)的連續(xù)翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,經(jīng)過(guò)2018次翻轉(zhuǎn)之后,點(diǎn)B的坐標(biāo)是______.
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【題目】如圖,在中,和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn),過(guò)作,交于點(diǎn),交于點(diǎn).若,則線(xiàn)段的長(zhǎng)為______.
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【題目】如圖,邊長(zhǎng)為的正方形中,為的中點(diǎn),連接交于,連接,過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于,則的長(zhǎng)為________.
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【題目】如圖,直線(xiàn)y=x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C、D分別為線(xiàn)段AB、OB的中點(diǎn),點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC+PD的值最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(﹣1,0)B.(﹣2,0)C.(﹣3,0)D.(﹣4,0)
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